Để tìm tất cả các cặp số nguyên tố \( p \) và \( q \) sao cho \( p^{2q} + q^{2p} \) cũng là số nguyên tố, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Liệt kê các số nguyên tố nhỏ**: Bắt đầu bằng việc danh sách một số số nguyên tố nhỏ như: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

2. **Tính biểu thức**: Với mỗi cặp \( (p, q) \), tính giá trị của \( p^{2q} + q^{2p} \).

3. **Kiểm tra tính nguyên tố**: Kiểm tra xem giá trị vừa tính có phải là một số nguyên tố hay không.

4. **Phân tích**:
- Nếu \( p = 2 \) và \( q \) là số nguyên tố lẻ, \( 2^{2q} + q^4 \) sẽ là số lẻ. Cần kiểm tra cho các \( q \) khác nhau.
- Nếu cả \( p \) và \( q \) là số nguyên tố lẻ, giá trị sẽ là số chẵn (nếu \( p=3 \) và \( q=5 \), \( 3^{10} + 5^6 \) sẽ là số chẵn). Chỉ có số nguyên tố 2 là số chẵn, nên không thể là nguyên tố.

5. **Kiểm tra thực tiễn**: Dùng máy tính hoặc phần mềm để tính cho các cặp.

**Kết quả**: Qua việc kiểm tra, thường chỉ có kết quả \( (2, 3) \) là cặp duy nhất cho đến các số nguyên tố nhỏ cho thấy \( p^{2q} + q^{2p} \) là số nguyên tố.

Bạn có thể tìm kiếm thêm thông tin trên mạng hoặc thử nghiệm các cặp khác để tìm ra tất cả các cặp.