Để tính thể tích của khối tứ diện \( ABCD \), ta sử dụng công thức:

\[
V = \frac{1}{6} | \vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) |
\]

Trước tiên, ta cần tìm tọa độ các điểm:

- \( A (a; -1; 6) \)
- \( B (-3; -1; -4) \)
- \( C (5; -1; 0) \)
- \( D (1; 2; 1) \)

### a) Tìm giá trị \( a \)

1. Tính các vectơ:
- \( \vec{AB} = B - A = (-3 - a; -1 + 1; -4 - 6) = (-3 - a; 0; -10) \)
- \( \vec{AC} = C - A = (5 - a; -1 + 1; 0 - 6) = (5 - a; 0; -6) \)
- \( \vec{AD} = D - A = (1 - a; 2 + 1; 1 - 6) = (1 - a; 3; -5) \)

2. Tính tích có hướng \( \vec{AC} \times \vec{AD} \):
\[
\vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
5 - a & 0 & -6 \\
1 - a & 3 & -5
\end{vmatrix}
\]

3. Tính định thức:
\[
= \hat{i} \left( 0 \cdot (-5) - 3 \cdot (-6) \right) - \hat{j} \left( (5 - a)(-5) - (1 - a)(-6) \right) + \hat{k} \left( (5 - a) \cdot 3 - 0 \cdot (1 - a) \right)
\]
\[
= \hat{i}(0 + 18) - \hat{j}(-5(5 - a) + 6(1 - a)) + \hat{k}(3(5 - a))
\]
\[
= 18\hat{i} + (25 - 5a + 6 - 6a)\hat{j} + (15 - 3a)\hat{k}
\]
\[
= 18\hat{i} + (31 - 11a)\hat{j} + (15 - 3a)\hat{k}
\]

4. Tính tích vô hướng \( \vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) \):
\[
= (-3 - a) \cdot 18 + 0 \cdot (31 - 11a) + (-10) \cdot (15 - 3a)
\]
\[
= -54 - 18a - 150 + 30a
\]
\[
= -204 + 12a
\]

5. Thay vào công thức thể tích:
\[
\frac{1}{6} | -204 + 12a | = 30
\]
\[
| -204 + 12a | = 180
\]

6. Giải hệ phương trình:
- \( -204 + 12a = 180 \)
\[
12a = 384 \implies a = 32
\]
- \( -204 + 12a = -180 \)
\[
12a = 24 \implies a = 2
\]

### b) Tìm tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác \( ABC \)

1. Tính trung điểm \( I \) của \( AB \), \( J \) của \( AC \), và \( K \) của \( BC \):
- Trung điểm \( I: \left(\frac{a - 3}{2}, \frac{-1 - 1}{2}, \frac{6 - 4}{2}\right) \)
- Trung điểm \( J: \left(\frac{a + 5}{2}, \frac{-1 - 1}{2}, \frac{6 + 0}{2}\right) \)
- Trung điểm \( K: \left(\frac{5 - 3}{2}, \frac{-1 - 1}{2}, \frac{-4 + 0}{2}\right) \)

2. Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác \( ABC \).

Nếu cần thêm hướng dẫn chi tiết hoặc cụ thể hơn về tính toán, hãy cho tôi biết!