Để tìm thể tích của hình chóp tam giác đều SABC, chúng ta cần sử dụng công thức:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot S_b \cdot h
\]

Trong đó:
- \( V \) là thể tích của hình chóp.
- \( S_b \) là diện tích đáy (diện tích tam giác ABC).
- \( h \) là chiều cao của hình chóp.

### Bước 1: Tính diện tích đáy tam giác ABC

Ta có diện tích tam giác SBC là \( S_{SBC} = 3\sqrt{2} \, \text{cm}^2 \).

Diện tích tam giác ABC có thể được tính bằng cách sử dụng công thức:

- Diện tích tam giác kề:
\[
S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SC \cdot \sin(\angle ABC)
\]
- Ta đang có chiều cao của tam giác mặt bên SBC từ đỉnh S đến cạnh BC là \( 2\sqrt{2} \).

Tuy nhiên, để tính diện tích ABC, chúng ta cần thêm thông tin hoặc sử dụng tính chất của tam giác.

### Bước 2: Tính chiều cao của hình chóp

Chiều cao của hình chóp \( h = 4 \, \text{cm} \).

### Bước 3: Tính thể tích

Chúng ta cần diện tích đáy \( S_b \). Nếu không có kích thước cụ thể cho tam giác ABC, ta có thể sử dụng công thức:

- Diện tích tam giác đều \( S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \) với \( a \) là độ dài cạnh.

Nếu chiều cao của tam giác đáy ABC là \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \), và giả sử cạnh của tam giác đáy là \( a \), ta có thể sử dụng Pythagore để tính:

\[
\frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{3\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = 3
\]

Bây giờ ta tính diện tích:

\[
S_b = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4}
\]

### Bước 4: Áp dụng công thức tính thể tích

Giờ ta có diện tích đáy và chiều cao của hình chóp:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot 4
\]

Tính thể tích:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \, \text{cm}^3
\]

Do đó, thể tích của hình chóp SABC là \( 3\sqrt{3} \, \text{cm}^3 \).