Để chứng minh đẳng thức:

\[
\frac{\sin x}{1 + \cos x} + \frac{1 + \cos x}{\sin x} = \frac{2}{\sin x}
\]

**Bước 1:** Tìm mẫu số chung của hai phân số bên trái.

Mẫu số chung là \((1 + \cos x) \sin x\).

**Bước 2:** Viết lại biểu thức với mẫu số chung.

\[
\frac{\sin^2 x}{(1 + \cos x) \sin x} + \frac{(1 + \cos x)^2}{(1 + \cos x) \sin x} = \frac{\sin^2 x + (1 + \cos x)^2}{(1 + \cos x) \sin x}
\]

**Bước 3:** Tính tử số.

\[
\sin^2 x + (1 + \cos x)^2 = \sin^2 x + (1 + 2\cos x + \cos^2 x)
\]
\[
= \sin^2 x + 1 + 2\cos x + \cos^2 x = 1 + 1 + 2\cos x = 2 + 2\cos x
\]

**Bước 4:** Thay vào biểu thức.

\[
\frac{2 + 2\cos x}{(1 + \cos x) \sin x} = \frac{2(1 + \cos x)}{(1 + \cos x) \sin x}
\]

**Bước 5:** Rút gọn biểu thức.

\[
= \frac{2}{\sin x}
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng:

\[
\frac{\sin x}{1 + \cos x} + \frac{1 + \cos x}{\sin x} = \frac{2}{\sin x}
\]

Do đó, đẳng thức đã được chứng minh.