Để giải bài toán, ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Thiết lập tọa độ**:
- Giả sử tam giác vuông ABC có A nằm trên trục Oy và B, C nằm trên trục Ox.
- Đặt \(B(0, 0)\), \(C(\sqrt{2}, 0)\) và \(I\) là trung điểm của BC, do đó \(I\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)\).
- Điểm A sẽ có tọa độ \(A(0, h)\) cho một số \(h > 0\).
- Với tam giác vuông DBC, điểm D cũng sẽ nằm dưới đường thẳng nối B và C vì AID = 120° hay 60° so với hình chiếu của ID lên trục hoành, cho nên là vuông góc với BC.

2. **Xác định góc**:
- Gọi \(D(x, y)\) với D nằm trên BC. Tương tự, AID = 120° → ∠AID = 120° → ∠AID = 60° tương ứng với tam giác vuông AID tạo với đường thẳng IAD.
- Ta sẽ sử dụng định nghĩa tangens để xác định các tọa độ của điểm D.

3. **Thực hiện toạ độ D**:
- Khi có kích thước với các thông số cụ thể, ta sẽ dễ dàng tìm ra D:
- D nằm trên đường thẳng BC và bán kính IAD = 120° có thể dời theo tam giác vuông theo tỷ lệ. Bạn hãy sử dụng và thay thông số để vào.

4. **Tính độ dài vectơ**:
- Vectơ IA và vectơ ID được tính bằng \(IA = \sqrt{(0 - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (h - 0)^2}\) và \(ID = \sqrt{(x - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (y - 0)^2}\)

5. **Tính tổng | vectơ IA + vectơ ID |**:
- Sau khi có độ dài cụ thể, ta thực hiện phép toán là tổng và tính.

Áp dụng từng bước, ta có thể dự đoán các độ dài cần thiết, và sau chắc chắn sẽ có được kết quả cụ thể cho tổng độ dài của vectơ.

Vì không có dữ liệu trực tiếp cho tọa độ D nên bạn có thể tính toán chỉ với cách làm trên để hoàn thiện kết quả cho bài toán. Kết quả cuối cùng ta sẽ được | vectơ IA + vectơ ID |.