Để chứng minh các tính chất của hình thang cân ABCD, ta sẽ theo dõi các định nghĩa và thuộc tính của hình thang và các đoạn thẳng liên quan.

### Chứng minh:

**a)** Ta cần chứng minh rằng \( OA = OB \) và \( OC = OD \).

1. Trong hình thang cân ABCD, ta có \( AB \parallel CD \) và \( AD = BC \).
2. Theo tính chất của hình thang cân, hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) là đối xứng qua trục trung trực của hai đáy. Do đó, giao điểm \( O \) của hai đường chéo sẽ là điểm đối xứng của các điểm đầu mút của hai đường chéo.
3. Vì \( AB \parallel CD \), mọi đường thẳng vuông góc với \( AB \) cũng vuông góc với \( CD \). Do vậy, \( OA \) và \( OB \) là các đoạn thẳng vuông góc với \( AB \) và tương tự cho \( OC \) và \( OD \) với \( CD \).
4. Kết hợp thông tin về tính đối xứng của hình thang cân, ta có:
- \( OA = OB \) (bởi tính đối xứng lấy trục dao động là đường thẳng đi qua \( O \)).
- \( OC = OD \) (tương tự, cũng do tính đối xứng).
5. Vậy \( OA = OB \) và \( OC = OD \).

**b)** Chúng ta cần chứng minh rằng \( EO \) là đường trung trực của hai đáy hình thang \( AB \) và \( CD \).

1. Đặt \( E \) là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bên \( AD \) và \( BC \).
2. Ta đã biết rằng \( O \) là trung điểm của đoạn chéo \( AC \) và \( BD \). Do đó, \( AO = OC \) và \( BO = OD \).
3. Đường thẳng \( EO \) sẽ là đường trung trực của đoạn thẳng \( AB \) vì nó đi qua điểm \( O \) (trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đáy) và cắt đường thẳng ở một góc vuông.
4. Tương tự, \( EO \) cũng sẽ là trung trực của đoạn thẳng \( CD \) vì đã được thiết lập rằng \( EO \) cũng cắt tại điểm \( O \) và cũng vuông góc với \( CD \).
5. Vì vậy, \( EO \) chia \( AB \) và \( CD \) thành hai đoạn bằng nhau. Ta có \( EA = EB \) và \( EC = ED \).
6. Do đó, \( EO \) là đường trung trực của hai đáy \( AB \) và \( CD \).

### Kết luận:

Chúng ta đã chứng minh được rằng \( OA = OB \) và \( OC = OD \)(điều a) và rằng \( EO \) là đường trung trực của hai đáy hình thang \( AB \) và \( CD \) (điều b).