Để tính nguyên hàm của biểu thức \( \int (2 \cdot 3^x + 4x^2) \, dx \), ta sẽ xử lý từng phần riêng biệt.

1. Tính nguyên hàm của \( 2 \cdot 3^x \):
\[
\int 2 \cdot 3^x \, dx = 2 \cdot \frac{3^x}{\ln(3)} + C_1
\]

2. Tính nguyên hàm của \( 4x^2 \):
\[
\int 4x^2 \, dx = \frac{4x^3}{3} + C_2
\]

Kết hợp lại, ta có:
\[
\int (2 \cdot 3^x + 4x^2) \, dx = 2 \cdot \frac{3^x}{\ln(3)} + \frac{4x^3}{3} + C
\]
Trong đó \( C \) là hằng số tích phân chung.