Để chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật, ta thực hiện như sau:

1. **Gọi các điểm của hình thoi:**
- Gọi hình thoi là ABCD, với A, B, C, D lần lượt là các đỉnh của hình thoi.

2. **Xác định các trung điểm:**
- Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
- Vậy:
- M = (A + B) / 2
- N = (B + C) / 2
- P = (C + D) / 2
- Q = (D + A) / 2

3. **Tính độ dài và góc của các đoạn thẳng:**
- Ta biết rằng trong một hình thoi, các cạnh đối diện song song và có độ dài bằng nhau. Do đó:
- AB || CD và BC || DA
- Để chứng minh MN || PQ và NP || MQ, ta cần chứng minh vectơ MN và PQ là song song và bằng nhau, cũng như vectơ NP và MQ là song song và bằng nhau.

4. **Tính toán độ dài và tương quan:**
- Vectơ MN:
\[
MN = N - M = \left(\frac{B+C}{2} - \frac{A+B}{2}\right) = \frac{C-A}{2}
\]
- Vectơ PQ:
\[
PQ = Q - P = \left(\frac{D+A}{2} - \frac{C+D}{2}\right) = \frac{A-C}{2}
\]
- Nhận thấy rằng MN // PQ vì chúng là các vectơ có cùng phương (C-A) và (A-C) là hướng ngược nhau.

5. **Xét các vectơ NP và MQ:**
- Vectơ NP:
\[
NP = P - N = \left(\frac{C+D}{2} - \frac{B+C}{2}\right) = \frac{D-B}{2}
\]
- Vectơ MQ:
\[
MQ = Q - M = \left(\frac{D+A}{2} - \frac{A+B}{2}\right) = \frac{D-B}{2}
\]
- Thấy rằng NP = MQ nên NP // MQ.

6. **Kết luận:**
- Ta có đường thẳng MN // PQ và NP // MQ, đồng thời MN = PQ và NP = MQ. Do đó, tứ giác MNPQ có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.
- Từ đó, ta kết luận rằng MNPQ là một hình chữ nhật.

Như vậy, các trung điểm của bốn cạnh trong một hình thoi chính là các đỉnh của một hình chữ nhật.