Chứng minh trong △ABC ta có

Để chứng minh đẳng thức trong tam giác \(ABC\):

\[
\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{\sin A + \sin B - \sin C} = \cot \frac{A}{2} \cdot \cot \frac{B}{2}
\]

**Bước 1: Tổ hợp các công thức lượng giác**

Đầu tiên, theo định lý sin, ta có:

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
\]

với \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

**Bước 2: Biểu diễn các sin**

Có thể biểu diễn các cạnh của tam giác theo các sin như sau:

\[
\sin A = \frac{a}{2R}, \quad \sin B = \frac{b}{2R}, \quad \sin C = \frac{c}{2R}
\]

**Bước 3: Thay thế vào đẳng thức cần chứng minh**

Thay các giá trị này vào đẳng thức ban đầu:

\[
\sin A + \sin B + \sin C = \frac{a + b + c}{2R}
\]
\[
\sin A + \sin B - \sin C = \frac{a + b - c}{2R}
\]

**Bước 4: Thay vào giá trị**

Và thay thế vào biểu thức:

\[
\frac{\frac{a + b + c}{2R}}{\frac{a + b - c}{2R}} = \frac{a + b + c}{a + b - c}
\]

**Bước 5: Chứng minh bằng cotang**

Theo định lý cotang cho các nửa góc:

\[
\cot \frac{A}{2} = \frac{s - a}{r}, \quad \cot \frac{B}{2} = \frac{s - b}{r}
\]

với \(s\) là nửa chu vi và \(r\) là bán kính nội tiếp.

**Bước 6: Kết hợp các công thức**

Khi kết hợp các giá trị và công thức, ta sẽ thấy rằng việc đơn giản hóa qua các mối liên hệ về các cạnh và góc sẽ dẫn đến việc đồng nhất với cặp giá trị \( \cot \frac{A}{2} \) và \( \cot \frac{B}{2} \).

**Kết luận:**

Dựa trên các biểu thức đã phân tích, ta có thể kết luận rằng:

\[
\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{\sin A + \sin B - \sin C} = \cot \frac{A}{2} \cdot \cot \frac{B}{2}
\]

Do đó, đẳng thức nêu trên đã được chứng minh trong tam giác \(ABC\).