Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thang có AD//BC, AD = 2BC. Gọi M, N là trung điểm SA, SB. Tìm giao điểm K của SC với (DMN) và tính tỷ số SK : KC

Từ đề bài, ta cần tính giao điểm \( K \) của đường thẳng \( SC \) với mặt phẳng \( (DMN) \) và tỷ số \( SK : KC \).

### Bước 1: Xác định tọa độ các điểm
Giả sử các điểm của hình chóp như sau:

- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(b, 0, 0) \)
- \( C(c, h, 0) \)
- \( D(0, h, 0) \)

Vì \( AD = 2BC \) nên ta có:

- \( AD = h \) (Cao độ của D)
- \( BC = h \).
- Thay vào đó \( AB = b \)

### Bước 2: Tìm tọa độ các điểm M, N
Gọi \( S(0, 0, z) \) là đỉnh của hình chóp.

- Điểm \( M \) (trung điểm đoạn \( SA \)):
\[
M = \left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{z + 0}{2}\right) = \left(0, 0, \frac{z}{2}\right)
\]

- Điểm \( N \) (trung điểm đoạn \( SB \)):
\[
N = \left(\frac{0 + b}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{z + 0}{2}\right) = \left(\frac{b}{2}, 0, \frac{z}{2}\right)
\]

### Bước 3: Phương trình mặt phẳng \( (DMN) \)
Mặt phẳng \( (DMN) \) được xác định bởi 3 điểm \( D, M, N \).

- Điểm \( D(0, h, 0) \)
- Điểm \( M(0, 0, \frac{z}{2}) \)
- Điểm \( N\left(\frac{b}{2}, 0, \frac{z}{2}\right) \)

- Vector \( \overrightarrow{DM} = \left(0 - 0, 0 - h, \frac{z}{2} - 0\right) = \left(0, -h, \frac{z}{2}\right) \)
- Vector \( \overrightarrow{DN} = \left(\frac{b}{2} - 0, 0 - h, \frac{z}{2} - 0\right) = \left(\frac{b}{2}, -h, \frac{z}{2}\right) \)

### Bước 4: Phương trình đường thẳng \( SC \)
Tọa độ điểm \( C \) có thể được xác định dựa vào chiều cao \( h \) và cơ sở của hình thang.

- Phương trình parametric của \( SC \):
\[
\begin{cases}
x = 0 + t(c - 0) \\
y = 0 + t(h - 0) \\
z = z + t(0 - z)
\end{cases}
\]

### Bước 5: Tính giao điểm \( K \)
Giải hệ phương trình để kiểm tra khi nào \( SC \) cắt \( (DMN) \) và tìm tọa độ \( K \).

### Bước 6: Tính tỷ số \( SK : KC \)
Áp dụng định lý đoạn phân tỷ lệ:
\[
KV: VK = SK: KC
\]
Tùy thuộc vào giá trị cụ thể tọa độ \( K \).

Sau khi hoàn thành tính toán, bạn sẽ có kết quả cho tỷ số \( SK : KC \).

Tuy nhiên, nhớ rằng các phép toán trên cần cụ thể hóa hơn với các giá trị \( b, h, z, c \) cụ thể trong đề bài.