Để xác định tính đúng sai của các mệnh đề trong câu 4 và câu 5, ta sẽ lần lượt kiểm tra những mệnh đề này.

### Câu 4: Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) với \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\).

1. **Mệnh đề (a): \(\cos \alpha > 0\)**
- Sai. Trong khoảng \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\), \(\cos \alpha < 0\).

2. **Mệnh đề (b): \(\cos \alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}\)**
- Đúng. Ta tính \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\):
\[
\cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \implies \cos \alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}.
\]

3. **Mệnh đề (c): \(\tan \alpha = -\frac{1}{2\sqrt{2}}\)**
- Sai. Ta có \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\):
\[
\tan \alpha = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}.
\]

4. **Mệnh đề (d): \(\cot \alpha = 2\sqrt{2}\)**
- Đúng. Ta có \(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -2\sqrt{2}\).

### Tóm tắt câu 4:
- (a): Sai
- (b): Đúng
- (c): Sai
- (d): Sai

### Câu 5: Cho \(\tan \alpha = -\frac{5}{12}\).

1. **Mệnh đề (a): \(\alpha \in (90^\circ; 180^\circ)\)**
- Đúng. Do \(\tan \alpha < 0\) nên \(\alpha\) nằm trong khoảng \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\).

2. **Mệnh đề (b): \(\cos \alpha = \frac{12}{13}\)**
- Đúng. Từ \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\):
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \quad \text{với} \quad \sin \alpha = -\frac{5}{13} \implies \cos \alpha = \sqrt{1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2} = \frac{12}{13}.
\]

3. **Mệnh đề (c): \(\cot \alpha = -\frac{12}{5}\)**
- Đúng. \(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{12}{5}\).

4. **Mệnh đề (d): \(\sin \alpha = \frac{5}{13}\)**
- Sai. \(\sin \alpha = -\frac{5}{13}\), vì \(\alpha\) nằm trong khoảng từ \(90^\circ\) đến \(180^\circ\) có giá trị âm.

### Tóm tắt câu 5:
- (a): Đúng
- (b): Đúng
- (c): Đúng
- (d): Sai

### Kết quả cuối cùng:

**Câu 4:**
- (a): Sai
- (b): Đúng
- (c): Sai
- (d): Đúng

**Câu 5:**
- (a): Đúng
- (b): Đúng
- (c): Đúng
- (d): Sai

Hy vọng giúp bạn!