Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác cân và các định lý liên quan đến tia phân giác.

**a. Chứng minh M là trung điểm của cạnh BC:**

Cho tam giác \( ABC \) với \( AB = AC \) (tam giác cân), gọi \( AM \) là tia phân giác của góc \( A \). Theo định lý phân giác, ta có:

\[
\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC}
\]

Vì \( AB = AC \) nên:

\[
\frac{BM}{MC} = 1 \Rightarrow BM = MC
\]

Do đó, \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \).

**b. Chứng minh AM vuông góc với BC:**

Từ phần a, ta biết rằng \( M \) là trung điểm của \( BC \). Trong tam giác cân \( ABC \) với \( AB = AC \) và \( M \) là trung điểm của \( BC \), tia phân giác \( AM \) sẽ vuông góc với cạnh \( BC \) (theo định lý trong hình học).

Cụ thể, từ tính chất của tam giác cân, tia phân giác của góc tại đỉnh \( A \) sẽ chia cạnh đối diện \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau và vuông góc với cạnh đó, nên:

\[
AM \perp BC
\]

**c. Chứng minh AB = CK và AB // CK:**

Trên tia \( AM \), ta lấy điểm \( K \) sao cho \( MA = MK \). Bây giờ, ta có đoạn thẳng \( AB \) và \( CK \).

Vì \( MA = MK \) và lại có \( AM \perp BC \), ta sẽ xem xét hai tam giác \( ABM \) và \( CKM \):

- \( AB = AC \) vì tam giác \( ABC \) là tam giác cân.
- \( AM = AM \) (đoạn chung).
- \( BM = MC \) (do \( M \) là trung điểm).

Áp dụng định lý hợp lý (tính chất của tam giác cân), ta có:

\[
\triangle ABM \cong \triangle CKM \quad (\text{công thức chứng minh:} AB = AC, BM = MC, AM = AK)
\]

Từ đó, suy ra:

\[
AB = CK
\]

Vì \( AM \perp BC \) và \( AM \) cũng là tia phân giác, nên \( AB \) và \( CK \) đều nằm trong một hướng với \( AM \) vuông góc với \( BC \).

Vậy có:

\[
AB \parallel CK.
\]

Kết luận cho ta thấy \( AB = CK \) và \( AB \parallel CK \).

Hy vọng rằng các phần chứng minh trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán này! Chúc bạn học tốt!