Để chứng minh rằng điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó, ta thực hiện các bước như sau:

**Giả thiết**: Cho đoạn thẳng \(AB\) và đường trung trực \(EF\) của đoạn thẳng \(AB\). Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(AB\).

**Chứng minh**:

1. **Định nghĩa đường trung trực**: Điểm nào nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) thì khoảng cách từ điểm đó đến hai điểm \(A\) và \(B\) phải bằng nhau.

2. **Lấy điểm \(E\) nằm trên đường trung trực \(EF\)**. Ta cần chứng minh rằng \(EA = EB\).

3. **Xét tam giác \(EMA\) và tam giác \(EMB\)**:
- \(EM\) là đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại điểm \(M\) (tính chất của đường trung trực).
- Do đó, \(MA = MB\) (vì \(M\) là trung điểm của \(AB\)).

4. **Xét hai tam giác**:
- Tam giác \(EMA\) và tam giác \(EMB\) có:
- \(EM\) chung.
- \(MA = MB\).
- \( \angle EMA = \angle EMB = 90^\circ\) (do \(EF\) là đường trung trực).

5. **Áp dụng định lý cạnh huyền**: Từ cơ sở trên, ta có:
\[
EA^2 = EM^2 + MA^2
\]
\[
EB^2 = EM^2 + MB^2
\]

Vì \(MA = MB\) nên \(EA^2 = EB^2\) dẫn đến \(EA = EB\).

6. **Kết luận**: Do đó, điểm \(E\) nằm trên đường trung trực của đoạn \(AB\) thì cách đều hai mút \(A\) và \(B\).

Vậy chúng ta đã chứng minh được rằng điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.