Để chứng minh rằng trong 5 số tự nhiên bất kỳ, tồn tại 2 số có hiệu bình phương chia hết cho 7, chúng ta có thể sử dụng nguyên lý Dirichlet hoặc cách tiếp cận theo lớp số (còn được gọi là Dirichlet class).

Ta bắt đầu với 7 lớp số dư khi chia cho 7, tức là các số tự nhiên có thể có các số dư sau khi chia cho 7: \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\).

Khi chúng ta nói về hiệu bình phương của hai số, có thể viết như sau:

Giả sử chúng ta có 2 số tự nhiên \(a\) và \(b\). Hiệu bình phương của chúng là:

\[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
\]

Vì vậy, để \(a^2 - b^2\) chia hết cho 7, cần có \(a - b\) hoặc \(a + b\) (hoặc cả hai) chia hết cho 7, nhưng việc kiểm tra chỉ cần \(a^2 - b^2 \equiv 0 \mod 7\) là đủ.

Bây giờ chúng ta sẽ phân tích các số bình phương của các số dư khi chia cho 7. Các số dư này là:

- \(0^2 \mod 7 \equiv 0\)
- \(1^2 \mod 7 \equiv 1\)
- \(2^2 \mod 7 \equiv 4\)
- \(3^2 \mod 7 \equiv 2\)
- \(4^2 \mod 7 \equiv 2\)
- \(5^2 \mod 7 \equiv 4\)
- \(6^2 \mod 7 \equiv 1\)

Từ đây, ta thấy các giá trị bình phương chia cho 7 có thể nhận được là: \(0, 1, 2, 4\) (lưu ý rằng \(2\) và \(4\) đã xuất hiện hai lần).

Chúng ta phân loại các giá trị:

- Số dư 0: \(0\)
- Số dư 1: \(1, 6\)
- Số dư 2: \(3, 4\)
- Số dư 4: \(2, 5\)

Vì có 4 lớp khác nhau \(0, 1, 2, 4\), và chúng ta chọn 5 số, theo nguyên lý Dirichlet (nguyên lý bồ câu), ít nhất một trong các lớp số dư này phải chứa ít nhất 2 số. Khi đó, hãy giả sử 2 số này có số dư giống nhau. Gọi hai số này là \(a\) và \(b\). Khi đó:

\[
a^2 \equiv b^2 \mod 7
\]

Do đó, \(a^2 - b^2 \equiv 0 \mod 7\).

Từ đó, ta có thể kết luận rằng:

Trong 5 số tự nhiên bất kỳ, tồn tại 2 số có hiệu bình phương chia hết cho 7.