Tìm số nguyên a; b sao cho a^4-2a^3+10a^2-18a-16=4b^2+20b

Để tìm các cặp số nguyên \( (a, b) \) sao cho thỏa mãn phương trình:

\[
a^4 - 2a^3 + 10a^2 - 18a - 16 = 4b^2 + 20b
\]

trước tiên, chúng ta có thể biến đổi phương trình để thuận tiện trong việc tìm kiếm các giá trị nguyên của \( a \) và \( b \).

### Bước 1: Biến đổi phương trình

Chúng ta có thể viết lại phương trình bằng cách đưa tất cả các hạng tử về một bên:

\[
a^4 - 2a^3 + 10a^2 - 18a - 16 - 4b^2 - 20b = 0
\]

### Bước 2: Tìm giá trị của a

Phương trình bên trái chứa biến \( a \) là một đa thức bậc 4. Để tìm giá trị nguyên của \( a \), bạn có thể thử từng giá trị nguyên của \( a \) để xem có giá trị nào thỏa mãn được không.

### Một vài giá trị thử nghiệm:

1. **Khi \( a = 0 \)**:
\[
-16 = 4b^2 + 20b \quad \Rightarrow \quad 4b^2 + 20b + 16 = 0
\]
Dùng công thức nghiệm phương trình bậc 2:
\[
b = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4 \cdot 4 \cdot 16}}{2 \cdot 4}
\]
\[
b = \frac{-20 \pm \sqrt{400 - 256}}{8} = \frac{-20 \pm \sqrt{144}}{8} = \frac{-20 \pm 12}{8}
\]
Ta có 2 nghiệm:
\[
b = \frac{-8}{8} = -1 \quad \text{hoặc} \quad b = \frac{-32}{8} = -4
\]
Vậy cặp nghiệm là \( (0, -1) \) và \( (0, -4) \).

2. **Khi \( a = 1 \)**:
\[
1 - 2 + 10 - 18 - 16 = 4b^2 + 20b
\]
\[
-25 = 4b^2 + 20b
\]
Điều này không có nghiệm nguyên.

3. **Khi \( a = 2 \)**:
\[
16 - 16 + 40 - 36 - 16 = 4b^2 + 20b
\]
\[
-12 = 4b^2 + 20b
\]
Điều này không có nghiệm nguyên.

4. **Khi \( a = 3 \)**:
\[
81 - 54 + 90 - 54 - 16 = 4b^2 + 20b
\]
\[
47 = 4b^2 + 20b
\]
Điều này không có nghiệm nguyên.

5. **Khi \( a = 4 \)**:
\[
256 - 128 + 160 - 72 - 16 = 4b^2 + 20b
\]
\[
200 = 4b^2 + 20b
\]
Chia cả hai bên cho 4:
\[
50 = b^2 + 5b \quad \Rightarrow \quad b^2 + 5b - 50 = 0
\]
Áp dụng công thức nghiệm:
\[
b = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 + 200}}{2} = \frac{-5 \pm 15}{2}
\]
Ta có nghiệm:
\[
b = 5 \quad \text{hoặc} \quad b = -10
\]
Vậy cặp nghiệm là \( (4, 5) \) và \( (4, -10) \).

### Kết quả

Sau khi thử nghiệm, các cặp số nguyên \( (a, b) \) thỏa mãn phương trình là:

1. \( (0, -1) \)
2. \( (0, -4) \)
3. \( (4, 5) \)
4. \( (4, -10) \)

Bạn có thể tiếp tục thử các giá trị của \( a \) khác nếu cần tìm thêm nghiệm.