Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x+2m+5/ x+m+1 nghịch biến trên (-∞; -2)?

Để hàm số \( y = \frac{x + 2m + 5}{x + m + 1} \) nghịch biến trên khoảng \((-∞; -2)\), ta cần xét tính đơn điệu của hàm số thông qua đạo hàm.

Đầu tiên, tính đạo hàm \( y' \):

\[
y' = \frac{(x + m + 1)(1) - (x + 2m + 5)(1)}{(x + m + 1)^2}
\]

Rút gọn biểu thức:

\[
y' = \frac{x + m + 1 - x - 2m - 5}{(x + m + 1)^2} = \frac{-(m + 4)}{(x + m + 1)^2}
\]

Để hàm số nghịch biến, ta yêu cầu \( y' < 0 \):

\[
\frac{-(m + 4)}{(x + m + 1)^2} < 0
\]

Điều này xảy ra khi \( -(m + 4) > 0 \), tức là \( m + 4 < 0 \):

\[
m < -4
\]

Hàm số \( y' \) có mẫu là \((x + m + 1)^2\), nên nó luôn dương (mẫu dương) đối với mọi \( x \) khác \( -m - 1 \).

Vậy, để hàm số nghịch biến trên \((-∞; -2)\), cần \( m < -4 \).

Các giá trị nguyên của \( m \) thoả mãn điều kiện này là: \(-5, -6, -7, \ldots\)

Do đó, có vô số giá trị nguyên của \( m \) thoả mãn yêu cầu.