Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( A = 4x^2 - 4x + 12 \), trước tiên, chúng ta có thể nhận thấy rằng đây là một hàm bậc 2 (hàm parabol) với a = 4, b = -4, và c = 12.

Hàm bậc 2 có dạng tổng quát là \( Ax^2 + Bx + C \) có GTNN khi a > 0. Trong trường hợp này, a = 4 > 0, nên hàm này có giá trị nhỏ nhất.

Công thức để tìm tọa độ của đỉnh của parabol (và từ đó tìm giá trị nhỏ nhất) là:

\[
x_{min} = -\frac{b}{2a}
\]

Áp dụng vào hàm của chúng ta:

\[
x_{min} = -\frac{-4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\]

Tiếp theo, thay giá trị \( x_{min} \) vào hàm số \( A \) để tìm giá trị nhỏ nhất:

\[
A\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{2}\right) + 12
\]

Tính toán từng thành phần:

\[
= 4 \cdot \frac{1}{4} - 2 + 12
\]
\[
= 1 - 2 + 12
\]
\[
= 11
\]

Như vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( A = 4x^2 - 4x + 12 \) là \( 11 \).