Để giải bài toán về hình chóp tứ giác đều, ta thực hiện các bước sau:

### a) Tính chiều cao SO của hình chóp tứ giác đều

- **Tính thể tích của hình chóp**: Thể tích \( V \) của hình chóp tứ giác đều được tính bằng công thức:
\[
V = \frac{1}{3} \times A_{đáy} \times h
\]
Trong đó:
- \( A_{đáy} \) là diện tích đáy.
- \( h \) là chiều cao.

- **Diện tích đáy**: Đáy là hình vuông với cạnh bằng \( a \). Diện tích đáy là:
\[
A_{đáy} = a^2
\]

- **Công thức thể tích**: Ta có:
\[
V = \frac{1}{3} \times a^2 \times h
\]
Giả sử chiều cao \( h = a \):
\[
V = \frac{1}{3} \times a^2 \times a = \frac{1}{3} a^3
\]

- **Thay giá trị thể tích**:
\[
\frac{1}{3} a^3 = \frac{64}{3}
\]
Suy ra:
\[
a^3 = 64 \Rightarrow a = 4 \, cm
\]

- **Vậy chiều cao SO**:
\[
h = a = 4 \, cm
\]

### b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều

- **Diện tích xung quanh**: Diện tích xung quanh \( S \) của hình chóp tứ giác đều được tính theo công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times P_{đáy} \times h
\]
Trong đó \( P_{đáy} \) là chu vi đáy.

- **Chu vi đáy**: Chu vi của đáy hình vuông là:
\[
P_{đáy} = 4a = 4 \times 4 = 16 \, cm
\]

- **Tính diện tích xung quanh**:
\[
S = \frac{1}{2} \times 16 \times 4 = 32 \, cm^2
\]

### Kết quả

- a) Chiều cao \( SO = 4 \, cm \)
- b) Diện tích xung quanh = \( 32 \, cm^2 \)