Để chứng minh rằng ba điểm \(B'\), \(E\), và \(F\) thẳng hàng trong bài toán này, ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học.

1. **Đặt hệ tọa độ**:
- Giả sử \(C\) là gốc tọa độ \(O(0,0)\).
- Gọi \(B(x_B, y_B)\) và \(A(x_A, y_A)\) là tọa độ của các điểm \(B\) và \(A\).

2. **Xác định tọa độ \(B'\)**:
- Điểm \(B'\) đối xứng với \(B\) qua \(C\) sẽ có tọa độ \(B'(-x_B, -y_B)\).

3. **Điểm \(E\)**:
- Theo điều kiện của bài toán, \(AE = \frac{1}{2} AC\). Do đó, vị trí của \(E\) nằm trên đoạn thẳng \(AC\) và chia đoạn này theo tỉ lệ. Nếu \(A\) có tọa độ \(A(x_A, y_A)\) và \(C(0,0)\), thì tọa độ của \(E\) sẽ là:
\[
E\left(\frac{x_A}{2}, \frac{y_A}{2}\right)
\]

4. **Xác định tọa độ \(F\)**:
- \(AF = \frac{1}{3} AB\) có nghĩa rằng \(F\) là điểm chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ lệ \(1:2\).

5. **Chứng minh thẳng hàng**:
- Cần chứng minh rằng điểm \(B'\), \(E\), và \(F\) cùng nằm trên một đường thẳng. Ta có thể sử dụng định nghĩa của độ dốc (slope).
- Tính độ dốc giữa các cặp điểm:
- Độ dốc giữa \(B'\) và \(E\):
\[
m_{B'E} = \frac{\frac{y_A}{2} - (-y_B)}{\frac{x_A}{2} - (-x_B)} = \frac{\frac{y_A}{2} + y_B}{\frac{x_A}{2} + x_B}
\]
- Tương tự, tính độ dốc giữa \(E\) và \(F\), và chứng minh rằng hai độ dốc này bằng nhau.

Nếu các độ dốc bằng nhau, điều đó chứng tỏ rằng \(B'\), \(E\), và \(F\) thẳng hàng.

Như vậy, ta đã có thể sử dụng các lý thuyết hình học để chứng minh rằng ba điểm \(B'\), \(E\), và \(F\) thẳng hàng.