Để chứng minh \( MC \cdot MD = MA^2 = MO^2 - R^2 \), ta sẽ sử dụng một số thuộc tính về hình học của đường tròn và các đoạn thẳng liên quan.

**Chứng minh:**

1. **Xác định vị trí các điểm:** Cho điểm \( M \) nằm trên đường thẳng \( d \), \( O \) là tâm của đường tròn và \( R \) là bán kính. Điểm \( A \) là 1 điểm trên đường tròn.

2. **Đoạn thẳng từ \( M \) đến các điểm trên đường tròn:**
- Ta có đoạn thẳng \( MA \) nối giữa điểm \( M \) và điểm \( A \).
- Đoạn mà chúng ta quan tâm là \( MC \) và \( MD \), trong đó \( C, D \) là giao điểm của các đường tiếp tuyến từ \( M \).

3. **Áp dụng định lý tiếp tuyến:**
- Theo định lý về tiếp tuyến, hiệu số bình phương các đoạn từ một điểm bên ngoài đường tròn đến các điểm tiếp xúc của đường tròn sẽ bằng bình phương đoạn thẳng nối từ điểm đó đến tâm của đường tròn trừ đi bình phương bán kính.
- Cụ thể: \( MC \cdot MD = MA^2 \).

4. **Tính toán đoạn thẳng:**
- Từ công thức trên và định lý Cosine trong tam giác \( MOO' \) (với \( O' \) là giao điểm của đường thẳng \( MO \) vuông góc với đường tròn):
\[
MO^2 = MA^2 + AO^2,
\]
trong đó \( AO = R \).

- Do đó, ta có:
\[
MO^2 = MA^2 + R^2.
\]
Điều này dẫn đến kết luận:
\[
MA^2 = MO^2 - R^2.
\]

5. **Kết hợp các kết quả:**
- Từ nó ta có được:
\[
MC \cdot MD = MA^2 = MO^2 - R^2.
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( MC \cdot MD = MA^2 = MO^2 - R^2 \).