Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F = y - x \) trong điều kiện đã cho, ta cần tìm các điểm cực trị của hàm này trong miền mà các điều kiện xác định.

**Bước 1: Phân tích miền xác định.**

Các điều kiện là:

1. \( -2x + y \leq -2 \) → \( y \leq 2x - 2 \)
2. \( x - 2y \leq 2 \) → \( y \geq \frac{x - 2}{2} \)
3. \( x + y \leq 5 \) → \( y \leq 5 - x \)
4. \( x \geq 0 \)
5. \( y \geq 0 \)

**Bước 2: Vẽ đồ thị của các điều kiện.**

Từ các bất đẳng thức trên, ta có thể vẽ các đường thẳng tương ứng trên mặt phẳng tọa độ \(xy\) và tìm vùng thỏa mãn tất cả các điều kiện.

**Bước 3: Tính các điểm giao nhau của các đường.**

- Giao điểm giữa \( y = 2x - 2 \) và \( y = \frac{x - 2}{2} \):
\[
2x - 2 = \frac{x - 2}{2} \implies 4x - 4 = x - 2 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3} \implies y = 2 \cdot \frac{2}{3} - 2 = \frac{4}{3} - 2 = -\frac{2}{3} \text{ (không thỏa mãn } y \geq 0\text{)}
\]

- Giao điểm giữa \( y = 2x - 2 \) và \( y = 5 - x \):
\[
2x - 2 = 5 - x \implies 3x = 7 \implies x = \frac{7}{3} \implies y = 5 - \frac{7}{3} = \frac{15 - 7}{3} = \frac{8}{3}
\]

- Giao điểm giữa \( y = \frac{x - 2}{2} \) và \( y = 5 - x \):
\[
\frac{x - 2}{2} = 5 - x \implies x - 2 = 10 - 2x \implies 3x = 12 \implies x = 4 \implies y = 5 - 4 = 1
\]

- Giao điểm giữa các đường trên và các trục \(x\) và \(y\).

**Bước 4: Tính giá trị \( F = y - x \) tại các điểm đã tìm được.**

1. \( \left( \frac{7}{3}, \frac{8}{3} \right) \): \( F = \frac{8}{3} - \frac{7}{3} = \frac{1}{3} \)
2. \( (4, 1) \): \( F = 1 - 4 = -3 \)

**Bước 5: Kết luận.**

Giá trị nhỏ nhất của \( F \) là \( -3 \), đạt được tại điểm \( (4, 1) \). Vậy tọa độ điểm mà biểu thức \( F = y - x \) đạt giá trị nhỏ nhất là \( (4, 1) \).