Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F = -x + 8y \) dưới các điều kiện đã cho, bước đầu tiên là xác định miền khả thi.

### Điều kiện:
1. \( y \leq 5 \)
2. \( x \geq 0 \)
3. \( x + y - 2 \geq 0 \) (có thể viết lại thành \( y \geq 2 - x \))
4. \( x - 2y + 1 \leq 0 \) (có thể viết lại thành \( x \leq 2y - 1 \))

### Bước 1: Vẽ miền khả thi
Chúng ta sẽ vẽ các đường biên của miền khả thi trên hệ tọa độ \( (x, y) \):

1. **Đường \( y = 5 \)**: Hạn chế trên của \( y \).
2. **Đường \( x = 0 \)**: Hạn chế bên trái của \( x \).
3. **Đường \( y = 2 - x \)**: Đường thẳng cắt \( x \) tại \( (2, 0) \) và \( y \) tại \( (0, 2) \).
4. **Đường \( y = \frac{x + 1}{2} \)**: Đường thẳng cắt \( x \) tại \( (-1, 0) \) (bỏ qua, không thuộc miền khả thi) và cắt \( y \) tại \( (0, 0.5) \).

### Bước 2: Tìm các điểm cực trị
Các đỉnh của miền khả thi có thể được tìm bằng cách giải các hệ phương trình từ các đường thẳng:

1. **Giao điểm giữa \( y = 5 \) và \( y = 2 - x \)**:
\[
5 = 2 - x \implies x = -3 \quad \text{(không hợp lệ)}
\]

2. **Giao điểm giữa \( y = 5 \) và \( y = \frac{x + 1}{2} \)**:
\[
5 = \frac{x + 1}{2} \implies x + 1 = 10 \implies x = 9 \quad \text{(hợp lệ)}
\]
Do đó, điểm là \( (9, 5) \).

3. **Giao điểm giữa \( y = 2 - x \) và \( y = \frac{x + 1}{2} \)**:
\[
2 - x = \frac{x + 1}{2} \implies 4 - 2x = x + 1 \implies 4 - 1 = 3x \implies x = 1 \implies y = 1
\]
Điểm này là \( (1, 1) \).

4. **Giao điểm giữa các đường thẳng tại điểm \( (2, 0) \) được xác định từ chuỗi điều kiện**.

### Bước 3: Tính giá trị của \( F \)
Tại các điểm cực trị tìm được:

- Tại \( (9, 5) \):
\[
F = -9 + 8 \cdot 5 = -9 + 40 = 31
\]

- Tại \( (1, 1) \):
\[
F = -1 + 8 \cdot 1 = -1 + 8 = 7
\]

- Tại \( (2, 0) \):
\[
F = -2 + 8 \cdot 0 = -2
\]

### Bước 4: Xác định giá trị nhỏ nhất
Giá trị nhỏ nhất của \( F \) là \( -2 \) tại điểm \( (2, 0) \).

### Kết luận
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F = -x + 8y \) là \( -2 \).