a) Ta có: KBC^=BAD^ (2 góc ở vị trí so le trong)

Mà CDH^=BAD^ (2 góc đồng vị)

Suy ra: CDH^=KBC^

Xét tam giác BCK và DCH có

CDH^=KBC^K^=H^=90°

⇒ ∆BCK ~ ∆DCH (g.g)

b) Tứ giác AKCH có: AKC^+AHC^=90°+90°=180° 

Suy ra: AKCH nội tiếp đường tròn đường kính AC

Suy ra: KAC^=KHC^ (góc nội tiếp cùng chắn cung KC) (1)

Và CKH^=CHA^ (góc nội tiếp cùng chắn cung HC)

Mà HAC^=BCA^ (2 góc so le trong)

⇒ CKH^=BCA^ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tam giác CKH đồng dạng tam giác BCA (g.g)

c) Do ∆BCK ∽ ∆DCH (g.g) nên CKCH=BCDC3

∆CKH ∽ ∆BCA (g.g) nên CKBC=KHAC4

Từ (3): CKBC=CHDC5

Từ (4) và (5); CKBC=KHAC=CHDC=sinCDH^

Mà CDH^=BAD^ (đồng vị)

Nên: KHAC=sinBAD^ hay HK = AC.sin

d) CDH^=BAD^=60°

DC = AB = 4

Tam giác DHC vuông có: sinCDH^=CHDC⇒CH=DC.sinCDH^=4.sin60°=23

DH=DC2−CH2=42−232=2

AH = AD + DH = 5 + 2 = 7

SAHC=12.AH.CH=12.7.23=73

BC = AD = 5

sinKBC^=KCBC⇒KC=BC.sinKBC^=BC.sinCDH^=532

BK=BC2−KC2=52

AK = AB + BK = 132

SACK=12.AK.CK=12.132.532=6538