Xét n = 0 thì A = 1 không là số nguyên tố;

Xét n = 1 thì A = 3 là số nguyên tố.

Xét n > 1, ta thấy A > n² + n + 1;

 A = n²⁰¹⁸ – n² + n²⁰⁰⁸ – n + n² + n + 1

= n²((n³)⁶⁷² – 1) + n.((n³)⁶⁶⁹ – 1) + (n² + n + 1)            

Mà (n³)⁶⁷² – 1 chia hết cho n³ -1, suy ra (n³)⁶⁷² – 1 chia hết cho n² + n + 1

(Vì n³ – 1 = (n − 1)(n² + n + 1)

⇒ (n³ − 1) ⋮ (n² + n + 1)

Tương tự: (n³)⁶⁶⁹ – 1 chia hết cho n² + n + 1

Khi đó A chia hết cho n² + n + 1 > 1 và A > n² + n + 1

Vậy A là hợp số với mọi n > 1.

Tóm lại số tự nhiên cần tìm là n = 1.