• Xét ∆ADM vuông tại M và ∆BCN vuông tại N có:

AD = BC; \(\widehat {ADM} = \widehat {BCN}\) (do ABCD là hình thang cân)

Do đó ∆ADM = ∆BCN (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AM = BN; DM = CN (các cặp cạnh tương ứng)

• Do AB // CD mà BN ⊥ CD nên BN ⊥ AB, do đó tam giác ABN vuông tại B.

Xét ∆ABN vuông tại B và ∆NMA vuông tại M có:

\(\widehat {BAN} = \widehat {MNA}\) (2 góc so le trong của AB // CD);

Cạnh AN chung

Do đó ∆ABN = ∆NMA (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AB = NM (hai cạnh tương ứng)

Mà AB = 3 cm nên NM = 3 cm.

• Ta có DM + NM + CN = CD và DM = CN nên 2DM + 3 = 6.

Suy ra DM = 1,5 cm.

Mà DN = DM + NM = 1,5 + 3 = 4,5 cm.

Trong tam giác ADM vuông tại M, ta có: AD² = AM² + DM².

Suy ra AM² = AD² ‒ DM² = 2,5² ‒ 1,5² = 4.

Vậy \(AM = \sqrt 4 = 2\;\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\).