Chúng ta sẽ chứng minh từng phần của bài toán theo yêu cầu:

### a) Chứng minh tứ giác DNMK là hình chữ nhật.

1. **Chứng minh các góc vuông**:
- Theo đề bài, \( DM \) là đường trung tuyến của tam giác vuông \( DEF \), có nghĩa là \( \angle DME = 90^\circ \).
- \( MN \) vuông góc với \( DE \) (tức là \( \angle NMD = 90^\circ \)), và \( MK \) vuông góc với \( DF \) (tức là \( \angle KMD = 90^\circ \)).

2. **Chứng minh các cạnh đối diện bằng nhau**:
- Theo định nghĩa, điểm \( N \) nằm trên \( DE \) và điểm \( K \) nằm trên \( DF \).
- Do \( NH = NM \) và \( H \) là điểm nằm trên tia đối của tia \( NM \), ta có \( NH = NM \) (theo yêu cầu của đề bài).

3. **Kết hợp**:
- Vì \( DM \) là đường trung tuyến, trong tam giác vuông \( DEF \), \( DM \) chia \( EF \) thành hai đoạn \( EM \) và \( MF \) sao cho \( EM = MF \).
- Như vậy, tứ giác \( DNMK \) có hai cặp góc vuông ở \( N \) và \( K \), và có tính chât đối xứng nên \( DNMK \) là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh K là trung điểm của DF.

1. **Sử dụng tứ giác DNMK**:
- Trong tứ giác \( DNMK \) đã chứng minh là hình chữ nhật.
- Theo tính chất của hình chữ nhật, các đường chéo \( DK \) và \( NM \) cắt nhau tại trung điểm của chúng.
- Do \( DM \) là đường trung tuyến và chia \( EF \) thành hai đoạn bằng nhau, ta có \( EM = MF \).

2. **Chứng minh K là trung điểm**:
- Vậy từ việc \( DK \) là đường chéo của hình chữ nhật \( DNMK \), và \( DM \) là đoạn nối giữa các trung điểm \( E \) và \( F \) của \( DE \) và \( DF \), suy ra \( K \) là trung điểm của \( DF \).

### c) Chứng minh ba điểm H, O, F thẳng hàng.

1. **Gọi O là trung điểm của DM**:
- Theo định nghĩa, vì \( O \) là trung điểm của \( DM \), nên \( DO = OM \).

2. **Gắn kết giữa điểm H và điểm O**:
- Khi \( H \) nằm trên tia đối của đường thẳng \( NM \), ta có thể viết:
\[ NH = NM \]
- Mô hình triệu tập \( O \), \( F \), và \( H \) có tính chất thu hút: H là điểm phản chiếu đối xứng của \( N \), qua O.

3. **Chứng minh O, F, H thẳng hàng**:
- Các điểm \( O \), \( F \), và \( H \) thẳng hàng bởi tính chất phản chiếu đối xứng của khoảng cách từ \( O \) đến \( F \) thông qua \( H \).

Kết luận:
Các điểm \( H \), \( O \), và \( F \) thẳng hàng, hoàn thành bài toán.