Gọi O là giao điểm của AB và IJ.

Vì ABCD là hình thang cân nên BAD^=ABC^;  ADC^=BCD^;  AD=BC;  AC=BD.

Xét ∆ABD và ∆BAC có:

AC = BD (chứng minh trên);

BAD^=ABC^ (chứng minh trên);

AD = BC (chứng minh trên).

Do đó ∆ABD = ∆BAC (c.g.c)

Suy ra ADB^=BCD^ (hai góc tương ứng).

Tam giác ICD cân tại I (vì ADC^=BCD^) nên IC = ID.

Vì ADC^=BCD^; ABD^=BCD^ nên JDC^=JCD^.

Tam giác JCD cân tại J (vì JDC^=JCD^) nên JC = JD.

Xét ∆IJD và ∆IJC có:

IC = ID (chứng minh trên);

ADB^=BCD^ (chứng minh trên);

JC = JD (chứng minh trên).

Do đó ∆IJD = ∆IJC (c.g.c).

Suy ra DIJ^=CIJ^ (hai góc tương ứng).

Ta có ID = IC, AD = BC.

Mà ID = AI + AD; IC = IB + BC nên IA = IB.

Tam giác IAB cân tại I (vì IA = IB) có IO là tia phân giác AIB^ 

Suy ra IO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Vậy đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.