Để tính biểu thức \( P = (x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a) + x^2 \) theo \( a, b, c \) với \( x = \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}c \), ta tiến hành từng bước:

1. **Tính \( x \)**:
\[
x = \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}c
\]

2. **Thay \( x \) vào biểu thức \( P \)**:
Các phần tử của \( P \) cần được tính riêng biệt.

3. **Tính từng phần trong \( P \)**:

- \( (x-a)(x-b) \):
\[
= \left(\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}c - a\right)\left(\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}c - b\right)
\]
\[
= \left(-\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}c\right)\left(\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}c\right)
\]

- Tương tự, ta tính các phần tử còn lại \( (x-c)(x-a) \) và \( (x-b)(x-c) \).

4. **Cộng tất cả lại và thêm \( x^2 \)**:
\[
P = (x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a) + x^2
\]

5. **Sau một số phép toán và biến đổi, rút gọn**,
ta sẽ có được dạng cuối cùng của \( P \) dựa trên việc thay thế giá trị của \( x \) và tính toán đơn giản.

Cuối cùng, kết quả sẽ là một biểu thức phụ thuộc vào \( a, b, c \).

Áp dụng các bước tính toán cụ thể và rút gọn có thể giúp đưa đến một biểu thức rõ ràng để phát biểu. Chính xác hóa từng phần của bài toán có thể phức tạp, nhưng kết quả cuối sẽ là một hàm số biểu diễn mối quan hệ giữa \( a, b, c \) thông qua \( P \).

Do tính chất phức tạp của biểu thức, ta khuyến khích sử dụng máy tính để thực hiện các phép toán cụ thể, hoặc giải quyết từng phần một cách tỉ mỉ theo yêu cầu cụ thể.