Gọi I là trung điểm của AB thì O′I ⊥ AB, OI ⊥ AB.

Suy ra góc giữa (O′AB) và (O; R) là góc giữa O′I và OI hay \(\widehat {O'IO} = 60^\circ .\)

Đặt AI = x ⇒ AB = 2x.

Tam giác vuông OIA có OA = R, AI = x 

⇒ \(OI = \sqrt {O{A^2} - A{I^2}} = \sqrt {{R^2} - {x^2}} .\)

Tam giác O′AB đều cạnh AB = 2x ⇒ \(O'I = \frac{{2x\sqrt 3 }}{2} = x\sqrt 3 .\)

Tam giác O′OI vuông tại O nên \(\cos 60^\circ = \frac{{O'I}}\)

⇔ \(\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt {{R^2} - {x^2}} }}{{x\sqrt 3 }}\) ⇔ \(x = \frac{{\sqrt 7 }}.\)

Suy ra \(OO' = O'I.\sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 7 }}.\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3R\sqrt 7 }}{7}.\)

Thể tích khối trụ \(V = \pi {R^2}h = \pi {R^2}.\frac{{3R\sqrt 7 }}{7} = \frac{{3\pi \sqrt 7 {R^3}}}{7}.\)