Gọi P=OA∩ED;Q=MN∩AH

H=BD∩CE⇒H là trực tâm của tam giác ABC⇒AH⊥BC

Ta có MN//BC(cmt);AH⊥BC(cmt)⇒MN⊥AH tại Q 

Xét ΔAMQ và ΔAONcó:

AMQ^=AMN^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

AQM^=ANO^=900

⇒ΔAMQ~ΔAONg.g⇒MAQ^=OAN^(hai góc tương ứng)

⇒MAQ^−QAO^=OAN^−QAO^⇒OAM^=QAN^⇒PAE^=QAN^

Lại có: AED^=ANM^(cmt)⇒AEP^=ANQ^⇒PAE^+AEP^=QAN^+ANQ^

Xét tam giác vuông AQN có: QAN^+ANQ^=900⇒PAE^+AEP^=900

⇒ΔAPE vuông tại P⇒AP⊥PE hay FA⊥KI(1)

Ta đã chứng minh MN⊥AH⇒FQ⊥AI(2)

Từ (1) và (2) ⇒Flà giao điểm của 2 đường cao FA,FQ của tam giác KAI 

Vậy F là trực tâm tam giác KAIdfcm