Đường thẳng AB đi qua A(a; 0); B(0; b) nên có phương trình: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).

M(4; 1) thuộc AB nên \(\frac{4}{a} + \frac{1}{b} = 1\) (1).

Tam giác AOB vuông tại O nên có diện tích là:

S_OAB = \(\frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}ab = 2\). Suy ra: ab = 4. (2).

Từ (1) và (2) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{a} + \frac{1}{b} = 1\\ab = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4b + a = ab\\ab = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4 - 4b\\b\left( {4 - 4b} \right) - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4 - 4b\\ - 4{b^2} + 4b - 4 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4 - 4b\\ - \left( {4{b^2} - 4b + 4} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4 - 4b\\ - \left( {4{b^2} - 4b + 4} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4 - 4b\\ - {\left( {2b - 1} \right)^2} - 3 = 0\end{array} \right.\).

Ta thấy –(2b – 1)² – 3 ≤ – 3 với mọi b nên phương trình –(2b – 1)² – 3 = 0 vô nghiệm.

Vậy không có đường thẳng (d) thỏa mãn.