Cho hàm số y = 2x^3 - 6x^2 + 2(2 - m)x + m

Để tìm giá trị của \( m \) sao cho hàm số \( y = 2x^3 - 6x^2 + 2(2 - m)x + m \) đồng biến trên khoảng \( (2; +\infty) \), ta cần tính đạo hàm của hàm số này và tìm điều kiện cho đạo hàm dương trong khoảng này.

Đầu tiên, tính đạo hàm \( y' \):

\[
y' = \frac{dy}{dx} = 6x^2 - 12x + 2(2 - m)
\]
\[
y' = 6x^2 - 12x + 4 - 2m
\]

Để hàm số đồng biến trong khoảng \( (2; +\infty) \), chúng ta cần \( y' \geq 0 \) trên khoảng này.

Tiếp theo, ta xét hàm bậc 2 \( y' = 6x^2 - 12x + (4 - 2m) \). Để hàm này luôn không âm trên khoảng \( (2; +\infty) \), nó phải có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 hoặc không có nghiệm. Việc này có thể đạt được nếu giá trị của biểu thức là dương tại \( x = 2 \) và hệ số của \( x^2 \) là dương (điều này thỏa mãn vì 6 > 0).

Bây giờ ta tính giá trị của \( y' \) tại \( x = 2 \):

\[
y'(2) = 6(2)^2 - 12(2) + (4 - 2m)
\]
\[
= 6 \cdot 4 - 24 + (4 - 2m)
\]
\[
= 24 - 24 + 4 - 2m
\]
\[
= 4 - 2m
\]

Để đảm bảo \( y' \geq 0 \) tại \( x = 2 \):

\[
4 - 2m \geq 0
\]
\[
4 \geq 2m
\]
\[
2 \geq m
\]

Vì vậy, giá trị của \( m \) cần thỏa mãn điều kiện:

\[
m \leq 2
\]

Do đó, hàm số \( y = 2x^3 - 6x^2 + 2(2 - m)x + m \) sẽ đồng biến trên khoảng \( (2; +\infty) \) khi \( m \leq 2 \).