a) Với \(m = \sqrt 2 ,\) ta có hệ phương trình: \(\left( I \right)\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x\sqrt 2 - 3y = \sqrt 2 \,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{2x - 3y\sqrt 2 = 2}\end{array}} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (1) với \(\sqrt 2 ,\) ta được hệ phương trình sau:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 3y\sqrt 2 = 2}\\{2x - 3y\sqrt 2 = 2.}\end{array}} \right.\]

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được:

0x + 0y = 0. Hệ thức này luôn thỏa mãn với các giá trị tùy ý của x và y.

Với giá trị tùy ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức \(x\sqrt 2 - 3y = \sqrt 2 ,\) suy ra \(y = \frac{{\sqrt 2 }}{3}x - \frac{{\sqrt 2 }}{3}.\)

Vậy hệ phương trình (I) có nghiệm là \(\left( {x;\frac{{\sqrt 2 }}{3}x - \frac{{\sqrt 2 }}{3}} \right)\) với x ∈ ℝ.

b) Với \(m = - \sqrt 2 ,\) ta có hệ phương trình: \(\left( {II} \right)\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x\sqrt 2 - 3y = - \sqrt 2 \,\,\,\,\left( 2 \right)}\\{2x - 3y\sqrt 2 = 2}\end{array}} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (2) với \(\sqrt 2 ,\) ta được hệ phương trình sau:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 3y\sqrt 2 = - 2}\\{2x - 3y\sqrt 2 = 2.}\end{array}} \right.\]

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được:

0x + 0y = –4. Phương trình này vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình (II) vô nghiệm.

c) Với \(m = 2\sqrt 2 ,\) ta có hệ phương trình: \(\left( {III} \right)\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x\sqrt 2 - 3y = 2\sqrt 2 \,\,\,\,\left( 3 \right)}\\{8x - 3y\sqrt 2 = 2}\end{array}} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (3) với \(\sqrt 2 ,\) ta được hệ phương trình sau:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 3y\sqrt 2 = 4}\\{8x - 3y\sqrt 2 = 2}\end{array}} \right.\)

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được:

–6x = 2, suy ra \(x = - \frac{1}{3}.\)

Thế \(x = - \frac{1}{3}\) vào phương trình (3), ta được:

\( - \frac{1}{3} \cdot \sqrt 2 - 3y = 2\sqrt 2 ,\) suy ra \(3y = - \frac{{\sqrt 2 }}{3} - 2\sqrt 2 ,\) nên

\(y = - \frac{{\sqrt 2 }}{9} - \frac{{2\sqrt 2 }}{3} = \frac{{ - \sqrt 2 - 2\sqrt 2 \cdot 3}}{9} = \frac{{ - 7\sqrt 2 }}{9}.\)

Vậy hệ phương trình (III) có nghiệm là \(\left( { - \frac{1}{3};\frac{{ - 7\sqrt 2 }}{9}} \right).\)