Lời giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Khi đó \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)

Dựng hình bình hành ABCD ta có \(\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {C{\rm{D}}} \)

Ta có \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {C{\rm{D}}} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {M{\rm{D}}} \)

Khi đó \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 3\overrightarrow {MG} + 3\overrightarrow {M{\rm{D}}} \ge 3\overrightarrow {G{\rm{D}}} \)

(vì G và D nằm khác phía với đường thẳng AC)

Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của DG và AC

Hay M là trung điểm của AC

Mà ABCD là hình bình hành

Suy ra M là trung điểm của BD

Do đó MB = MD

Vì tam giác ABC đều có BM là trung tuyến

Nên BM là đường cao

Hay tam giác BCM vuông tại M

Suy ra \(BM = \sqrt {B{C^2} - C{M^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Suy ra \(DM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \[GM = \frac{1}{3}BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]

Ta có DG = DM + GM

Hay \[DG = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} + \frac{{a\sqrt 3 }}{6} = \frac{{2\sqrt 3 a}}{3}\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là \(2\sqrt 3 a\) khi M là trung điểm của AC.