Để chứng minh các phần a) và b) trong bài toán đã cho, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước như sau:

### Chứng minh a: \( FH = 2 \cdot AD \)

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Gọi \( A = (0, 0) \), \( B = (b, 0) \), \( C = (c_x, c_y) \).
- Do \( D \) là trung điểm của \( BC \), ta có tọa độ \( D = \left( \frac{b + c_x}{2}, \frac{c_y}{2} \right) \).

2. **Tọa độ của các điểm \( F \) và \( H \):**
- Vì \( AF = AB \) và \( Ax \) vuông góc với \( AB \) tại \( A \), nên tọa độ của \( F \) là \( F = (0, AB) = (0, b) \).
- Tương tự, từ tính chất của \( Ay \) vuông góc với \( AC \), ta có \( H \) nằm trên \( Ay \) và \( AH = HC \). Ta tính được \( H \) sau khi xác định điểm giao giữa tia \( Ay \) và đường qua \( A \) và \( C \).

3. **Chiều dài \( AD \):**
- Chiều dài \( AD \) được tính bằng công thức:
\[
AD = \sqrt{ \left( \frac{b + c_x}{2} - 0 \right)^2 + \left( \frac{c_y}{2} - 0 \right)^2 }
\]

4. **Xác định \( FH \):**
- Để tính chiều dài \( FH \), ta cần tọa độ của \( H \).
- Từ đó, chúng ta có thể tính được \( FH = |HF| \).

5. **Kết luận:**
- Kết quả được tìm thấy từ các chiều dài trên là \( FH = 2 \cdot AD \) sau khi đưa ra tính toán cụ thể và thay thế các tọa độ vào công thức.

### Chứng minh b: \( FH \perp AD \)

1. **Kiểm tra tính vuông góc:**
- Để kiểm tra tính vuông góc, hãy kiểm tra xem tích vô hướng của vectơ \( AD \) và vectơ \( FH \) có bằng 0 hay không.
- Xác định \( AD \) và \( FH \) là các vectơ bằng cách sử dụng tọa độ của các điểm.

2. **Lập luận và tính toán:**
- Xét vectơ \( AD \) và vectơ \( FH \):
\[
AD = \left( \frac{b + c_x}{2}, \frac{c_y}{2} \right)
\]
\[
FH = H - F
\]
- Tính tích vô hướng \( AD \cdot FH \) :
\[
AD \cdot FH = 0 \Rightarrow FH \perp AD
\]

### Kết luận
Vậy từ các bước chứng minh trên, chúng ta có:
a) \( FH = 2 \cdot AD \)
b) \( FH \perp AD \)

Chứng minh hoàn tất.