Tìm các số nguyên x, y thoả mãn x^2 +x−y^2 −y−5=0

Để tìm các số nguyên \( x, y \) thoả mãn phương trình

\[
x^2 + x - y^2 - y - 5 = 0,
\]

ta có thể rearrange lại để có dạng:

\[
x^2 + x - 5 = y^2 + y.
\]

Ta xem xét biểu thức bên trái và bên phải. Để giải phương trình, chúng ta sẽ tìm các giá trị nguyên cho \( y \), sau đó sẽ tìm \( x \).

### Bước 1: Xét biến y

Ta viết lại phương trình:

\[
x^2 + x - 5 = y^2 + y.
\]

Bên phải \( y^2 + y \) là một hàm bậc 2 theo \( y \), và có dạng là:

\[
y^2 + y = \frac{(2y + 1)^2 - 1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{(2y + 1)^2 - 1}{4}.
\]

Hàm này đạt cực tiểu tại \( y = -\frac{1}{2} \). Ta tìm các giá trị nguyên của y và đánh giá:

### Bước 2: Thử các giá trị nguyên của y

Ta thử một số giá trị nguyên cho \( y \):

1. **Khi** \( y = -3 \):
\[
y^2 + y = 9 - 3 = 6 \Rightarrow x^2 + x - 5 = 6 \Rightarrow x^2 + x - 11 = 0.
\]
Giải phương trình bậc 2:
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 44}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2} \Rightarrow x = 3 \text{ hoặc } x = -4.
\]

2. **Khi** \( y = -2 \):
\[
y^2 + y = 4 - 2 = 2 \Rightarrow x^2 + x - 5 = 2 \Rightarrow x^2 + x - 7 = 0.
\]
Giải phương trình:
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 28}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2} \text{ (không có nghiệm nguyên)}.
\]

3. **Khi** \( y = -1 \):
\[
y^2 + y = 1 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 5 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 5 = 0.
\]
Giải phương trình:
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2} \text{ (không có nghiệm nguyên)}.
\]

4. **Khi** \( y = 0 \):
\[
y^2 + y = 0 \Rightarrow x^2 + x - 5 = 0.
\]
Giải phương trình:
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2} \text{ (không có nghiệm nguyên)}.
\]

5. **Khi** \( y = 1 \):
\[
y^2 + y = 2 \Rightarrow x^2 + x - 5 = 2 \Rightarrow x^2 + x - 7 = 0.
\]
Giải phương trình:
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2} \text{ (không có nghiệm nguyên)}.
\]

6. **Khi** \( y = 2 \):
\[
y^2 + y = 6 \Rightarrow x^2 + x - 5 = 6 \Rightarrow x^2 + x - 11 = 0.
\]
Giải phương trình:
\[
x = 3 \text{ hoặc } -4 \text{ (đã tìm)}.
\]

7. **Khi** \( y = 3 \):
\[
y^2 + y = 12 \Rightarrow x^2 + x - 5 = 12 \Rightarrow x^2 + x - 17 = 0.
\]
Giải phương trình:
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{69}}{2} \text{ (không có nghiệm nguyên)}.
\]

### Kết quả

Các cặp nghiệm nguyên \((x, y)\) là:

- \((3, -3)\)
- \((-4, -3)\)

Do đó, các số nguyên \( (x, y) \) thoả mãn phương trình là:
\[
(3, -3) \text{ và } (-4, -3).
\]