Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có: O.ABC là hình chóp tam giác đều nên OA = OB = OC. 

Vì I là tâm tam giác đều ABC nên \({\mathop{\rm I}\nolimits} M = \frac{1}{2}IA\). (1)

Tam giác OBC vuông cân tại O nên OM vừa là đường cao, vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến.

Suy ra \(OM = \frac{1}{2}BC\) hay 2OM = BC.

Tam giác vuông cân OBC có 2OB² = BC².

Do đó: 2OB² = 4OM². Suy ra OM² = \(\frac{1}{2}\)OA². (2)

Tam giác OIM vuông tại I có: OI² + IM² = OM². (3)

Mà OI² = OA² – IA² (tam giác OIA vuông tại I) (4)

Thay (1), (2), (4) vào (3) ta được: \(O{A^2} - I{A^2} + \frac{1}{4}I{A^2} = \frac{1}{2}O{A^2}\).

Suy ra \(\frac{{I{A^2}}}{{O{A^2}}} = \frac{2}{3}\) nên \(\frac = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Mà IA = O'A' (do AIO'A' là hình bình hành).

Do đó, p = q = r = \(\frac{{O'A'}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).