Để giải bài toán hình học này, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu:

### a) Chứng minh \(\triangle ABM = \triangle ACM\)

**Định lý:** Hai tam giác có ba cạnh tương ứng bằng nhau thì chúng bằng nhau.

**Chứng minh:**
- Ta có \(AB = AC\) (giả thiết tam giác đều).
- \(BM = CM\) (M là trung điểm của BC).
- \(AM = AM\) (cạnh chung).

Suy ra \(\triangle ABM \cong \triangle ACM\) theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh (CCS).

### b) Chứng minh \(\angle ACM = \angle ABM\)

Vì \(\triangle ABM \cong \triangle ACM\) nên theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:

\(\angle ABM = \angle ACM\).

### c) Chứng minh \(AM \perp BC\)

Do \(\triangle ABM \cong \triangle ACM\) mà M là trung điểm của BC, nên AM là đường cao của tam giác ABC. Do đó, ta có:

\(AM \perp BC\).

### d) Tính chu vi tam giác ABM

Biết rằng:
- \(AB = 13 cm\)
- \(AM = 12 cm\)
- \(BM = CM = \frac{BC}{2}\).

Để tính \(BC\), ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác ABM:

\[
MB^2 + AM^2 = AB^2
\]

Gọi \(MB = x\):

\[
x^2 + 12^2 = 13^2
\]
\[
x^2 + 144 = 169
\]
\[
x^2 = 25
\]
\[
x = 5 \, cm
\]

Vậy \(BM = 5 cm\).

Chu vi của tam giác ABM là:

\[
AB + AM + BM = 13 + 12 + 5 = 30 \, cm.
\]

### Kết luận

Chu vi của tam giác ABM là \(30 cm\).