Cho tam giác ABC đều với AB = 2√3 cm, chúng ta sẽ giải quyết bài toán theo từng phần.

### a) Chứng minh ba cung BD, DE và EC bằng nhau

1. **Cạnh tam giác đều:**
Trong tam giác đều ABC, mọi cạnh đều bằng nhau, do đó:
\[
AB = AC = BC = 2\sqrt{3} \text{ cm.}
\]

2. **Tính góc trong tam giác đều:**
Do tam giác ABC đều, các góc ở các đỉnh đều bằng nhau, tức:
\[
\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ.
\]

3. **Hình vẽ đường tròn:**
Đặt O là trung điểm của BC. Đường tròn có đường kính BC thì tâm O sẽ nằm tại trung điểm của BC, tức là O chia BC làm hai đoạn bằng nhau. Từ điều này:
- Cung BD và cung EC được tạo thành từ bán kính OB và OC.
- Vì OB = OC = R (bán kính) và ∠BOC = 60°, ta có cung BD = cung EC.

4. **Cung DE:**
Cung DE nằm trên cùng một đường tròn, và cả hai cung BD và EC đều nằm trong một vòng tròn có cùng bán kính và cùng một trung điểm. Do đó:
\[
BD = DE = EC.
\]

Từ đó, ba cung này là bằng nhau. Bây giờ để tìm độ số đo của mỗi cung, ta tính:

5. **Tính độ dài các cung:**
Tổng số đo cung BD, DE và EC bằng 360° của đường tròn. Và do ba cung này bằng nhau, độ số đo của mỗi cung là:
\[
\text{Độ đo cung BD} = \text{Độ đo cung DE} = \text{Độ đo cung EC} = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ.
\]

### b) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây CE và cung CE

1. **Tính bán kính R:**
Để tính diện tích hình viên phân, ta cần bán kính R của đường tròn. Đường tròn có đường kính BC và BC = 2√3 cm, do đó bán kính sẽ là:
\[
R = \frac{BC}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ cm.}
\]

2. **Diện tích hình viên phân:**
Diện tích viên phân được tính theo công thức:
\[
S = \frac{R^2}{2} \left( \theta - \sin \theta \right),
\]
trong đó \( \theta \) là số đo cung CE được chuyển sang radian. Với \( \theta = 120^\circ \):
\[
\theta = \frac{120 \cdot \pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \text{ rad.}
\]

3. **Tính diện tích viên phân:**
Đầu tiên, tính \( \sin \frac{2\pi}{3} \):
\[
\sin \frac{2\pi}{3} = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.
\]

Bây giờ thay vào công thức tính diện tích:
\[
S = \frac{(\sqrt{3})^2}{2} \left( \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{3}{2} \left( \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right).
\]

4. **Đơn giản hóa:**
\[
S = \frac{3}{2} \left( \frac{2\pi}{3} \right) - \frac{3\sqrt{3}}{4}.
\]
\[
S = \pi - \frac{3\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2.
\]

### Kết quả

**a)** Độ số đo của ba cung BD, DE và EC là **120°**.

**b)** Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây CE và cung CE là:
\[
S = \pi - \frac{3\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2.
\]