Để tìm số tự nhiên có hai chữ số thỏa mãn điều kiện đã cho, ta gọi số đó là \( xy \), trong đó \( x \) là chữ số hàng chục và \( y \) là chữ số hàng đơn vị.

Tổng các chữ số của số này là:

\[
S = x + y
\]

Số này có thể biểu diễn dưới dạng:

\[
N = 10x + y
\]

Theo đề bài, số này chia cho tổng các chữ số của nó, tức là:

\[
\frac{N}{S} = \frac{10x + y}{x + y}
\]

Khối lượng thương là tổng các chữ số của nó, tức là:

\[
\frac{10x + y}{x + y} = x + y
\]

Ta sẽ giải phương trình trên:

\[
10x + y = (x + y)(x + y)
\]

Phát triển bên phải:

\[
10x + y = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
\]

Chuyển tất cả về một phía:

\[
x^2 + 2xy + y^2 - 10x - y = 0
\]

Sắp xếp cho rõ ràng, ta có được phương trình bậc hai:

\[
x^2 + (2y - 10)x + (y^2 - y) = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm \( x \) là số nguyên tự nhiên từ \( 1 \) đến \( 9 \), ta phải đảm bảo rằng:

1. **Delta của phương trình phải là một số chính phương:** Điều này xảy ra nếu \( B^2 - 4AC \) là một số chính phương.
2. **Nghiệm \( x \) phải là số nguyên từ 1 đến 9.**

Áp dụng điều kiện đầu tiên vào hệ số \( A, B, C \):

\[
\Delta = (2y - 10)^2 - 4(y^2 - y)
\]

Giải bất phương trình và kiểm tra các giá trị của \( y \) từ 0 đến 9 để tìm ra các cặp \( (x, y) \) thỏa mãn.

Sau khi thử từng giá trị của \( y \) từ 0 đến 9 và kiểm tra các giá trị nghiệp tìm được, qua quá trình tính toán, ta sẽ tìm ra các số \( xy \) .

Cuối cùng, kết quả tất cả các cặp \( (x, y) \) cho ra những số có hai chữ số là: 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90.

*Vậy các số tự nhiên hai chữ số thỏa mãn điều kiện bài toán là: 36, 45, 54, 63, 72, 81, và 90.*