Để giải phương trình \( \sin 3x + \cos x = 0 \), chúng ta có thể viết lại phương trình dưới dạng:

\[
\sin 3x = -\cos x
\]

Để giải phương trình này, chúng ta cần sử dụng công thức cho \(\sin 3x\). Công thức bậc ba cho sin là:

\[
\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x
\]

Thay vào phương trình, ta được:

\[
3\sin x - 4\sin^3 x = -\cos x
\]

Vì \(\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x}\), chúng ta có thể thay thế và làm phức tạp phương trình. Tuy nhiên, thay vào có thể không dễ dàng để giải quyết.

Chúng ta sẽ tìm một cách đơn giản hơn: giải bằng cách vẽ đồ thị hoặc thử các giá trị cụ thể cho \(x\) trong khoảng \([0, 2\pi]\) và xem thử có nghiệm nào thỏa mãn không.

**Trường hợp nghiệm:**
1. Đặt \(y = \sin x\), phương trình trở thành:
\[
3y - 4y^3 + \sqrt{1 - y^2} = 0
\]

2. Hoặc thay vào \(\sin 3x = -\cos x\):
- Tính toán các nghiệm cho \(x\).
- Thử nghiệm với các giá trị của \(x\) như \(x = \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi\).

Một cách đơn giản hơn để tìm nghiệm số là phương pháp đồ thị:

- Đồ thị \(y = \sin 3x\) và \(y = -\cos x\).
- Tìm giao điểm của 2 đồ thị trong khoảng từ \(x = 0\) đến \(x = 2\pi\) để xác định nghiệm.

Do tính chất không nguyên thủy, phương trình này thường không có nghiệm chính xác dễ dàng mà phụ thuộc nằm trong không gian số thực.

Vẫn có thể sử dụng máy tính để tìm gần đúng hoặc với phần mềm hỗ trợ tìm nghiệm.

**Kết luận:**
- Phương trình \( \sin 3x + \cos x = 0 \) có thể không có nghiệm đơn giản và bạn cần phải dùng phương pháp số hoặc đồ thị để tìm nghiệm gần đúng trong khoảng xác định.