Tính giá trị của các biểu thức sau

Chúng ta sẽ tính giá trị của từng biểu thức trong các câu hỏi từ 31 đến 34.

### Câu 31
Cho biết \( \cos \alpha = \frac{2}{3} \). Tính \( \tan \alpha \)?

Sử dụng mối quan hệ giữa các hàm lượng giác:
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}.
\]

Trước tiên, tính \( \sin \alpha \) từ \( \cos \alpha \):
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
\]
\[
\sin^2 \alpha + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1.
\]
\[
\sin^2 \alpha + \frac{4}{9} = 1 \implies \sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \implies \sin \alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}.
\]

Do đó,
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}.
\]
Vậy \( \tan \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} \).

### Câu 32
Cho góc \( \alpha \) thỏa mãn \( \cos \alpha = -\frac{1}{3} \). Tính giá trị của \( P = \sin \alpha + \frac{1}{\cos \alpha} \).

Tương tự như trên, ta sẽ tính \( \sin \alpha \):
\[
\sin^2 \alpha + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1.
\]
\[
\sin^2 \alpha + \frac{1}{9} = 1 \implies \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \implies \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}.
\]

Chọn dấu dương hoặc âm cho \( \sin \alpha \) tùy thuộc vào góc \( \alpha \).
Tính giá trị \( P \):
\[
P = \sin \alpha + \frac{1}{\cos \alpha} = \sin \alpha - 3.
\]

### Câu 33
Cho biết \( \sin \frac{\alpha}{3} = \frac{3}{5} \). Tính giá trị của \( P = 3\sin^2 \frac{\alpha}{3} + 5\cos^2 \frac{\alpha}{3} \).

Ta có:
\[
\sin^2 \frac{\alpha}{3} = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}, \quad \cos^2 \frac{\alpha}{3} = 1 - \sin^2 \frac{\alpha}{3} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.
\]

Do đó,
\[
P = 3 \cdot \frac{9}{25} + 5 \cdot \frac{16}{25} = \frac{27}{25} + \frac{80}{25} = \frac{107}{25}.
\]

### Câu 34
Cho \( \tan \alpha = \frac{3}{5} \). Tính giá trị của \( A = \frac{3\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} \).

Biểu thức \( A \) sẽ cần tính \( \sin \alpha \) và \( \cos \alpha \) từ \( \tan \alpha \):
\[
\tan \alpha = \frac{3}{5} \implies \sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{34}}, \quad \cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{34}}.
\]

Vậy \( A = \frac{3 \cdot \frac{3}{\sqrt{34}} + \frac{5}{\sqrt{34}}}{\frac{3}{\sqrt{34}} - \frac{5}{\sqrt{34}}} \):
\[
A = \frac{\frac{9}{\sqrt{34}} + \frac{5}{\sqrt{34}}}{\frac{3}{\sqrt{34}} - \frac{5}{\sqrt{34}}} = \frac{\frac{14}{\sqrt{34}}}{\frac{-2}{\sqrt{34}}} = \frac{14}{-2} = -7.
\]

Cuối cùng, lựa chọn đáp án cho từng câu.