Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{4{x^2} - 2x + 9}}\) trên khoảng (1; +∞);
b) \(y = \frac{{{x^2} - 2}}\) trên nửa khoảng [0; +∞);
c) \(y = \frac{{9{x^2} + 3x + 7}}\) trên nửa khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\);
d) \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 3}}\) trên đoạn [−2; 4].
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
a) \(y = \frac{{4{x^2} - 2x + 9}}\) trên khoảng (1; +∞)
Tập xác định: D = ℝ\\(\left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\).
Ta có: y' = \(\frac{{\left( {8x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right) - 2\left( {4{x^2} - 2x + 9} \right)}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{8{x^2} - 8x - 16}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\)
y' = 0 ⇔ \(\frac{{8{x^2} - 8x - 16}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\) = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = −1 (loại do −1∉ (1; +∞)).
Ta có bảng biến thiên:
Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} y = y\left( 2 \right)\) = 7, hàm số không có giá trị lớn nhất (1; +∞).
b) \(y = \frac{{{x^2} - 2}}\) trên nửa khoảng [0; +∞)
Tập xác định: D = ℝ\\(\left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}\).
Ta có: y' = \(\frac{{2x\left( {2x + 1} \right) - 2\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{2{x^2} + 2x + 4}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{2{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{2}}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\) > 0,
với mọi x ∈ [0; +∞).
Ta có bản biến thiên:
Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} y = y\left( 0 \right)\) = −2, hàm số không có giá trị lớn nhất trên [0; +∞).
c) \(y = \frac{{9{x^2} + 3x + 7}}\) trên nửa khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\)
Tập xác định: D = ℝ\\(\left\{ {\frac{1}{3}} \right\}\).
Ta có: y' = \(\frac{{\left( {18x + 3} \right)\left( {3x - 1} \right) - 3\left( {9{x^2} + 3x + 7} \right)}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{27{x^2} - 18x - 24}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}}\)
y' = 0 ⇔ \(\frac{{27{x^2} - 18x - 24}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}}\) = 0 ⇔ x = \(\frac{4}{3}\) hoặc x = \(\frac{{ - 2}}{3}\) (loại do \(\frac{{ - 2}}{3}\) ∉ \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\)).
Ta có bảng biến thiên:
Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left( {\frac{1}{3};5} \right]} y = y\left( {\frac{4}{3}} \right)\) = 9, hàm số không có giá trị lớn nhất trên \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\).
d) \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 3}}\) trên đoạn [−2; 4]
Tập xác định: D = ℝ\\(\left\{ { - \frac{5}{2}} \right\}\).
Ta có: y' = \(\frac{{\left( {4x + 3} \right)\left( {2x + 5} \right) - 2\left( {2{x^2} + 3x - 3} \right)}}{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{4{x^2} + 20x + 21}}{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2}}}\)
y' = 0 ⇔ \(\frac{{4{x^2} + 20x + 21}}{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2}}}\) = 0 ⇔ x = \( - \frac{3}{2}\) hoặc x = \( - \frac{7}{2}\) (loại do \( - \frac{7}{2}\) ∉ [−2; 4]).
Ta có bảng biến thiên:
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} y = y\left( 4 \right) = \frac\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} y = y\left( { - \frac{3}{2}} \right)\) = \( - \frac{3}{2}\).
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |