Gọi C và D là hai điểm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, sao cho C thuộc cung AD và góc OED = 90 độ. E là giao điểm của hai dây AD và BC, F là giao điểm của các đường thẳng AC và BD, H là giao điểm của FE và AB

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng bước theo các yêu cầu đã cho. Gọi nửa đường tròn có tâm O, đường kính AB = 2R, C và D là hai điểm trên nửa đường tròn thỏa mãn các điều kiện đã nêu.

### a) Chứng minh bốn điểm C, E, F, D cùng nằm trên một đường tròn.

Từ yêu cầu góc OED = 90 độ, ta thấy rằng E là giao điểm của hai dây AD và BC. Theo định lý góc nội tiếp, nếu một góc được tạo thành bởi hai dây cắt nhau trong một đường tròn thì góc đó tương ứng với cung mà hai dây này chắn. Do vậy, ta có thể khẳng định rằng nếu C thuộc cung AD và góc OED = 90 độ, thì điểm E sẽ nằm trên đường tròn có đường kính OD. Do đó, C, E, F, D đều nằm trên đường tròn này.

### b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh ID là tiếp tuyến đường tròn (O).

Từ việc EF là một dây trong đường tròn và I là trung điểm của EF, theo tính chất của tiếp tuyến và đường kính, đoạn thẳng ID sẽ vuông góc với điên tiếp tận cùng của EF tại I. Điều này có nghĩa là ID sẽ là tiếp tuyến với đường tròn tại điểm I, do đó ta có thể kết luận rằng ID là tiếp tuyến.

### c) Chứng minh AEFD = 2AH * DI.

Ta cần sử dụng diện tích của tứ giác AEFD để chứng minh mối quan hệ này.
Diện tích của tứ giác AEFD có thể được tính bằng công thức:

\[
S_{AEFD} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot DF \cdot \sin(\angle AEF) + \frac{1}{2} \cdot EF \cdot AD \cdot \sin(\angle EAD)
\]

Tuy nhiên, để tiến hành chứng minh cụ thể hơn, ta cần biết các tọa độ và khoảng cách cụ thể của các điểm để tính toán.

### d) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ∆FAB theo R khi C, D thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn giá trị thiết bài toán.

Diện tích của tam giác FAB phụ thuộc vào chiều cao từ điểm C đến đường thẳng AB. Giá trị này đạt cực đại khi thì chiều cao này lớn nhất, tức khi C nằm trên đường vuông góc từ O đến AB. Cụ thể, xác định vị trí của C khi góc ADC là vuông. Từ đó ta sẽ có diện tích lớn nhất của tam giác FAB mà chúng ta có thể tính bằng:

\[
S_{FAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OC
\]

Với AB = 2R và OC là đường cao từ O đến AB.

Tóm lại, để có được các kết luận rõ ràng nhất, ta cần phải vẽ hình và tính toán cụ thể, sử dụng hình học phẳng và các tính chất của đường tròn để hỗ trợ trong việc chứng minh và tính toán.