Để giải bài toán này, ta có một cấp số nhân với điều kiện cho trước. Gọi số hạng đầu tiên là \( u_1 = a \) và công bội là \( q \). Ta có các số hạng trong cấp số nhân như sau:

- \( u_2 = aq \)
- \( u_3 = aq^2 \)
- \( u_4 = aq^3 \)
- \( u_5 = aq^4 \)
- \( u_6 = aq^5 \)
- \( u_7 = aq^6 \)
- \( u_8 = aq^7 \)
- \( u_9 = aq^8 \)
- \( u_{10} = aq^9 \)
- ...

### a) Tìm số hạng đầu tiên

Dựa trên các điều kiện:

\[
u_4 + u_6 = -540 \implies aq^3 + aq^5 = -540 \implies aq^3(1 + q^2) = -540
\]
\[
u_3 + u_5 = 180 \implies aq^2 + aq^4 = 180 \implies aq^2(1 + q^2) = 180
\]

Thay biểu thức \( aq^2(1 + q^2) = 180 \) vào biểu thức đầu tiên:

\[
\frac{aq^3(1 + q^2)}{aq^2(1 + q^2)} = \frac{-540}{180} \implies \frac{q}{1} = -3 \implies q = -3
\]

Bây giờ ta thay \( q = -3 \) vào \( aq^2(1 + q^2) = 180 \):

\[
a(-3)^2(1 + (-3)^2) = 180 \implies 9a(1 + 9) = 180 \implies 9a \cdot 10 = 180 \implies 90a = 180 \implies a = 2
\]

Vậy số hạng đầu tiên \( u_1 = a = 2 \).

### b) Gọi \( q \) là công bội của cấp số nhân, thì ba số \( q; 1; 3 \) có tạo thành một CSC hay không?

Các số \( q = -3, 1, 3 \) sẽ tạo thành một CSC nếu:
\[
\frac{1 - (-3)}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{(không phải tỉ lệ bằng nhau)}
\]

Vậy không tạo thành một CSC.

### c) Số -486 là số hạng thứ bao nhiêu?

Ta có công thức số hạng thứ n của cấp số nhân là:
\[
u_n = a q^{n-1}
\]

Ta đi tìm n thoả mãn \( 2(-3)^{n-1} = -486 \):
\[
(-3)^{n-1} = -243 \implies n - 1 = 5 \implies n = 6
\]

Vậy -486 là số hạng thứ 6.

### d) Tổng của 21 số hạng đầu cấp số nhân đã cho bằng bao nhiêu?

Tổng \( S_n \) của 21 số hạng đầu tiên được tính theo công thức:

\[
S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q}
\]

Với \( a = 2 \), \( q = -3 \), và \( n = 21 \):

\[
S_{21} = 2 \cdot \frac{1 - (-3)^{21}}{1 - (-3)} = 2 \cdot \frac{1 - (-3)^{21}}{4}
\]

Tính giá trị \( (-3)^{21} \) (lưu ý rằng \((-3)^{21}\) âm):

\[
S_{21} = \frac{1 - (-3)^{21}}{2} = \frac{1 + 3^{21}}{2}
\]

Từ trên, dĩ nhiên \( 3^{21} \) là một số rất lớn, do đó tổng sẽ âm (khoảng vài triệu).

Bạn có thể tính chính xác giá trị cuối cùng của \( 3^{21} \) để tìm ra kết quả tổng chính xác.