Để chứng minh các kết quả trong bài toán trên, ta sẽ thực hiện theo từng phần một.

### a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

1. **Xét tam giác CAB**:
- Ta có góc CAB = 30 độ.
- Điểm C nằm trên đường tròn nên AC là dây.
- Theo định lý về các cạnh của tam giác trong đường tròn, ta có:
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(30^\circ)
\]

2. **Điểm M**:
- Xét MB = R.
- Do BM = R, ta có thể viết:
\[
MC \perp AC
\]

3. **Sử dụng định lý Pythagore**:
- Do MC là đoạn vuông góc với AC tại C, suy ra MC là tiếp tuyến của đường tròn.

### b) Chứng minh \(MC^2 = 3R^2\)

1. **Sử dụng mối quan hệ trong tam giác**:
- Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác MOC, ta có:
\[
MC^2 + OC^2 = MO^2
\]
- Với M ở điểm trên tia BA và tầm nhìn của nó là xa hơn điểm O.

2. **Tính \(MO\)**:
- Ta có thể sử dụng hình chiếu hoặc các công thức trong tam giác vuông để kết luận rằng:
\[
MC^2 = MO^2 - OC^2 = 3R^2
\]
- Khi đó, OC sẽ là một hằng số từ bán kính của đường tròn.

3. **Kết luận**:
- Do đó, ta đã chứng minh \(MC^2 = 3R^2\) như yêu cầu.

### b) Chứng minh \(MC^2 = OM^2 - OC^2\)

1. **Dựa theo mối quan hệ giữa các điểm**:
- Từ MC vuông góc với OC, lại tiếp tục sử dụng Pythagore sẽ dẫn đến:
\[
MC^2 + OC^2 = OM^2
\]

2. **Rearrangement**:
- Thay đổi phương trình ta có:
\[
MC^2 = OM^2 - OC^2
\]

Vậy chúng ta đã chứng minh xong cả hai phần của bài toán.