Để giải bài toán, ta tiến hành từng phần một:

### a) Tính độ dài của AI

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(0, b) \), \( C(c, 0) \) với \( BC = 12 \) cm.
- Do \( ABC \) vuông tại \( A \), ta có \( BC = \sqrt{(c-0)^2 + (b-0)^2} = 12 \).

2. **Áp dụng định lý Pythagore:**
- Theo định lý Pythagore, ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]
- Gọi \( AB = b \), \( AC = c \), ta có:
\[
b^2 + c^2 = 144 \quad (1)
\]

3. **Tìm tọa độ \( I \):**
- Trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( BC \) sẽ có tọa độ:
\[
I\left(\frac{c}{2}, \frac{b}{2}\right)
\]

4. **Tính độ dài \( AI \):**
- Độ dài \( AI \) được tính bằng công thức:
\[
AI = \sqrt{\left(\frac{c}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{c^2 + b^2}{4}} = \frac{\sqrt{b^2 + c^2}}{2}
\]
- Thay giá trị \( b^2 + c^2 \) từ (1):
\[
AI = \frac{\sqrt{144}}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh tứ giác AHIK là hình chữ nhật

1. **Xác định \( H \) và \( K \):**
- \( H \) là chân đường vuông góc hạ từ \( I \) xuống \( AC \).
- \( K \) là chân đường vuông góc hạ từ \( I \) xuống \( AB \).

2. **Chứng minh các cạnh vuông góc:**
- \( AH \perp HI \) và \( AK \perp KI \) do tính chất đường vuông góc.

3. **Chứng minh các cạnh đối diện bằng nhau:**
- \( AH = KI \) và \( AK = HI \) do \( I \) là trung điểm.

Do đó, tứ giác \( AHIK \) là hình chữ nhật.

### c) Chứng minh tứ giác AICM là hình thoi

1. **Chọn điểm \( M \):**
- \( M \) là trung điểm của \( HI \).

2. **Chứng minh điều kiện hình thoi:**
- Các cạnh \( AI, AC, IM, MC \) đều bằng nhau.

Kết hợp tất cả, \( AICM \) là hình thoi.

Như vậy, ta đã giải xong bài toán!