Cho ∆ABC nhọn có AB < AC. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho AB = AE, gọi H là trung điểm của BE

Để giải bài toán đã cho, ta có các điểm và đoạn thẳng như sau:

Cho ∆ABC nhọn với AB < AC. Trên cạnh BC, lấy điểm E sao cho AB = AE; gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BE.

### 1. Chứng minh ∆ABH = ∆AHE:

- **Đối xứng**: Ta thấy hai tam giác ∆ABH và ∆AHE có:
- **Độ dài cạnh**: AB = AE (theo giả thiết)
- **Cạnh chung**: AH là cạnh chung của hai tam giác.
- **Độ dài cạnh**: BH = HE (vì H là trung điểm của BE).

- Suy ra, theo định lý tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\Delta ABH \cong \Delta AHE
\]

### 2. Chứng minh AH vuông góc với BE:

- Từ sự đồng dạng ở trên, các góc tương ứng sẽ bằng nhau, nghĩa là:
- ∠BAH = ∠EHA, và độ dài AH là một đường cao bởi vì H là trung điểm của BE.

- Như vậy, AH vuông góc với BE, tức là:
\[
AH \perp BE
\]

### 3. Chứng minh BF = AE:

- Trên tia AH, lấy điểm F sao cho AH = HF. Kẻ tia Ax // BC và trên Ax lấy điểm I sao cho AI = BE (I cùng phía B so với đường thẳng AH).

- Ta có:
- Xét hai tam giác AHF và AIH:
- AH = HF (theo giả thiết).
- AI = BE (theo điều kiện đã cho).
- Góc ∠AHF = ∠IAH (từ việc kẻ đường thẳng Ax song song với BC).

- Suy ra, theo định lý tam giác đồng dạng:
\[
\Delta AHF \sim \Delta AIH
\]

- Từ đồng dạng này, khi lấy đường song song và chiều dài tương ứng, ta có:
\[
BF = AI = BE
\]

### 4. Chứng minh 3 điểm I, B, F thẳng hàng:

- Từ những kết quả trên, ta đã chứng minh rằng:
- AH ⊥ BE.
- AI = BE.

- Với việc sử dụng định nghĩa về các đường thẳng song song và độ dài, ta có thể viết:
\[
BF = AI = BE
\]

- Do đó, ba điểm I, B, và F sẽ thẳng hàng.

Kết luận lại các phần này, ta có thể hình thành suy diễn rằng ba điểm I, B, và F đều nằm trên một đường thẳng.

Chúng ta đã chứng minh xong các yêu cầu đặt ra trong bài toán này.