Qua E kẻ EM vuông góc với FE, cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E; F lần lượt là hình chiếu của H trên AB; AC

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước giải quyết từng yêu cầu.

**1) Tính các cạnh AC, BC, AH, FE và các góc ABC, HAC**

- Trong tam giác vuông \(\triangle ABC\), có \(AB = 9 \text{cm}\) và \(BH = 5.4 \text{cm}\).
- Cạnh \(AH\) chính là độ dài đường cao từ A xuống cạnh BC. Ta có:
\[
AH = \frac{AB \cdot BH}{BC} \quad \text{(1)}
\]
- Áp dụng định lý Pythagore, ta có:
\[
AB^2 + AH^2 = BC^2 \quad \text{(2)}
\]
- Trước tiên ta cần tính cảm AC. Ta có công thức:
\[
AC = \sqrt{AB^2 - AH^2} \quad \text{(3)}
\]

- Sẽ thay thế trực tiếp vào (1), (2), và (3) để tìm giá trị của AB, AC, BH, và AH.

Các góc \(ABC\) và \(HAC\) có thể tính như sau:
- \( \tan ABC = \frac{AH}{BH} \Rightarrow ABC = \tan^{-1}(\frac{AH}{BH}) \)
- \( \tan HAC = \frac{AH}{AC} \Rightarrow HAC = \tan^{-1}(\frac{AH}{AC})\)

---

**2) Tính diện tích tứ giác AEHF và tam giác AFE**

- Diện tích tứ giác AEHF được tính bởi:
\[
S_{AEHF} = S_{ABE} + S_{ACE}
\]
- Diện tích của \(\triangle ABE\) và \(\triangle AFE\) có thể tính bằng công thức diện tích tam giác:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH
\]

---

**4) Chứng minh các hệ quả**

a) Với \(AE.AB = AF.AC = HB.HC\): Sử dụng định lý Pythagore cho từng tam giác nhỏ.

b) Với \(BC = AB \cdot \cos B + AC \cdot \cos C\): Sử dụng công thức tỷ lệ trong tam giác vuông.

c) Tương tự cho \(tanB \cdot sinB = \frac{HC}{AB}\) và \(cosC \cdot sinB = \frac{HC}{BC}\).

---

**5)** Chứng minh rằng \( \frac{1}{EF^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} \): Sử dụng hệ thức chiều dài giữa các đoạn thẳng để tính EF.

---

**6)** Chứng minh rằng \( EA \cdot EB + FA \cdot FC = HB \cdot HC \): Áp dụng phương pháp đẳng thức cho các đoạn thẳng được xây dựng trong cấu trúc của tam giác.

---

**7)** CMR \( \frac{HB}{HC} = \left( \frac{AB}{AC} \right)^2\): Sử dụng tính chất tương ứng của các đoạn thẳng trong tam giác vuông.

---

**8)** Để chứng minh \( \angle AEF = \angle ACB \): Sử dụng tính chất góc đồng vị và tương đồng.

---

**9)** Có thể chứng minh \( M, N\) là trung điểm của HB và HC bằng tính chất của đoạn thẳng vuông góc.

---

**10)** Cách tính diện tích tứ giác \(S_{MNEF}\) dựa vào khoảng cách giữa các điểm đã xác định.

---

Trên đây là hướng dẫn sơ lược cho từng phần của bài toán, cụ thể hơn mỗi phần cần tính toán các số liệu từ các công thức đã đưa ra. Bạn có thể lấy các số liệu đã được cho (dài, cao) từ bài toán để tiến hành tính toán cụ thể.