Để giải phương trình \(3^x + 2 \cdot 3^x + 2 = 513\), trước hết chúng ta có thể đơn giản hóa biểu thức bên trái.

Ta có:

\[
3^x + 2 \cdot 3^x + 2 = 3^x (1 + 2) + 2 = 3^x \cdot 3 + 2 = 3^{x+1} + 2
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
3^{x+1} + 2 = 513
\]

Tiếp theo, ta trừ 2 ở cả hai phía:

\[
3^{x+1} = 511
\]

Bây giờ, để tìm \(x\), ta lấy logarit cơ số 3 của cả hai bên:

\[
x+1 = \log_3(511)
\]

Vì vậy:

\[
x = \log_3(511) - 1
\]

Để tính giá trị cụ thể của \(x\), chúng ta có thể sử dụng máy tính hoặc bảng logarit:

\[
\log_3(511) = \frac{\log_{10}(511)}{\log_{10}(3)}
\]

Ta có thể ước tính \(\log_{10}(511) \approx 2.709\) và \(\log_{10}(3) \approx 0.477\):

\[
\log_3(511) \approx \frac{2.709}{0.477} \approx 5.67
\]

Như vậy:

\[
x \approx 5.67 - 1 = 4.67
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
x \approx 4.67
\]

Nếu bạn cần giá trị chính xác hơn, hãy sử dụng máy tính cụ thể với các giá trị logarit chính xác.